Эквиаффинная геометрия

Эквиаффи́нная, или унимодуля́рнаяШаблон:Sfn, геоме́трия (от глат. unus — одинШаблон:Sfn и модуль), — геометрия аффинной унимодулярной группы преобразований. Важнейший факт — сохранение площадей и объёмов фигурШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Аналитическое представление аффинной группы на плоскости в неоднородных координатах, имеющее вид

$x^{\prime }=a_{1}x+b_{1}y+c_1$,

$y^{\prime }=a_{2}x+b_{2}y+c_2$,

есть представление также и унимодулярной аффинной группы, если определитель его матрицы равен $\pm 1$Шаблон:Sfn:

$\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=\pm 1$.

Поскольку аффинная унимодулярная группа есть подгруппа общей аффинной группы, множество всех объектов эквиаффинной геометрии включает в себя множество всех объектов общей аффинной геометрии. При этом эквиаффинная геометрия имеет объекты, которых нет в общей аффинной геометрии, так как множество инвариантов общей аффинной группы есть подмножество инвариантов аффинной унимодулярной группыШаблон:Sfn.

Площадь треугольника с произвольными вершинами $M_1(x_1,y_1),$ $M_2(x_2,y_2)$ и $M_3(x_3,y_3)$ — абсолютная величина $\left|\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }\right|,$ где определительШаблон:Sfn

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array}\right|.$

Имеет место следующее утверждениеШаблон:Sfn:

• площадь треугольника с тремя любыми вершинами на аффинной плоскости есть инвариант трёх точек унимодулярной аффинной группы.

Отсюда в эквиаффинной геометрии можно определить следующие площадиШаблон:Sfn:

• площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников, на которые он разбит;
• площадь криволинейной фигуры равна пределу последовательности площадей многоугольников, сходящихся к фигуре.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H