Экстраполятор нулевого порядка

Экстраполятор нулевого порядка — математическая модель, использующаяся при цифро-аналоговом преобразовании для восстановления дискретизованного сигнала в аналоговой форме. Такая модель необходима из-за того, что цифровой сигнал записывается последовательностью дельта-функций x_s(t), каждая из которых представляет собой один отсчёт дискретного сигнала x(nT), из которого восстанавливается непрерывный сигнал x(t). Однако использовать в качестве восстановленного сигнала последовательность импульсов непрактично и зачастую невозможно. Большинство современных цифро-аналоговых преобразователей выдают на выходе напряжение определённого уровня, которое сохраняется до следующего отсчёта.

Идеально оцифрованный сигнал x_s(t).

Таким образом, экстраполятор нулевого порядка — это гипотетический электронный фильтр, преобразовывающий идеально оцифрованный сигнал

$x_s(t)$ $=x(t)T\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)$ $=T\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)$

Кусочно-постоянный сигнал x_ZOH(t).

в кусочно-постоянный сигнал

$x_{\mathrm{Z}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT)\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\frac{t-nT}{T}-\frac{1}{2})$

Импульсная передаточная функция экстраполятора нулевого порядка h_ZOH(t).

имея импульсную передаточную функцию вида

$h_{\mathrm{Z}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)=\frac{1}{T}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\frac{t}{T}-\frac{1}{2})=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{T},& 0\le t<T\\ 0,& t<0;t\ge T\end{array}$

где $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(x)$ — прямоугольная функция.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика экстраполятора нулевого порядка — это преобразование Фурье его импульсной передаточной функции:

$H_{\mathrm{Z}\mathrm{O}\mathrm{H}}(f)=ℱ\{h_{\mathrm{Z}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)\}=\frac{1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}=e^{-i\pi fT}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(fT)$

где $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)$ — sinc-функция.

Передаточную функцию экстраполятора нулевого порядка получают формальной заменой s = i 2 π f:

$H_{\mathrm{Z}\mathrm{O}\mathrm{H}}(s)=ℒ\{h_{\mathrm{Z}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)\}=\frac{1-e^{-sT}}{sT}$

См. также

• Теорема Котельникова
• Экстраполятор первого порядка