Эпсилон-сеть

ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества $M$ метрического пространства $X$ есть множество $Z$ из того же пространства $X$ такое, что для любой точки $x\in M$ найдётся точка $z\in Z$, удалённая от $x$ не более чем на Шаблон:Mvar.

Связанные определения

• Метрическое пространство, в котором для каждого $\epsilon >0$ существует конечная $\epsilon$-сеть, называется вполне ограниченным.

• Метрика $\rho$ на множестве $X$ называется вполне ограниченной, если $(X,\rho )$ — вполне ограниченное метрическое пространство.

• Семейство метрических пространств $(X_{\alpha },{\rho }_{\alpha })$ таких, что для любого $\epsilon >0$ есть натуральное число $N_{\epsilon }$ такое, что каждое пространство $(X_{\alpha },{\rho }_{\alpha })$ допускает $\epsilon >0$-сеть из не более чем $N_{\epsilon }$ точек называется универсально вполне ограниченной.
  • Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности.

• Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.

Примеры

• Для стандартной метрики множество рациональных чисел — Шаблон:Mvar-сеть для множества вещественных для любого Шаблон:Math.
• Множество целых чисел — Шаблон:Mvar-сеть для множества вещественных для $\epsilon \ge 0,5$

Свойства

• Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
• Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества $M$ метрического пространства $X$ необходимо, а в случае полноты пространства $X$ и достаточно, чтобы при любом $\epsilon >0$ существовала конечная Шаблон:Mvar-сеть из элементов множества $M$.

• Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого $\epsilon >0$ в нём существует компактная Шаблон:Mvar-сеть.

Литература

• Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
• Шаблон:Книга