Эффект Джанибекова

Файл:Dzhanibekov effect.ogv

Теоре́ма промежу́точной оси́, или теоре́ма те́ннисной раке́тки, в классической механике — утверждение о неустойчивости вращения твёрдого тела относительно второй главной оси инерции. Является следствием законов классической механики, описывающих движение твёрдого тела с тремя различными главными моментами инерции. Проявление теоремы при вращении такого тела в невесомости часто называют эффектом Джанибекова в честь советского космонавта Владимира Джанибекова, который заметил это явление 25 июня 1985 года во время миссии по спасению космической станции «Салют-7». Статья, объясняющая это наблюдение, была опубликована в 1991 году. В то же время сама теорема о неустойчивости вращения вокруг промежуточной оси инерции известна давно и доказывается в любом курсе классической механики. Неустойчивость такого вращения часто показывается в лекционных экспериментах. Неустойчивость вращения вокруг промежуточной (средней) оси инерции и устойчивость вращения вокруг двух других осей была впервые обнаружена французским механиком Луи Пуансо в 1834 году и опубликована в его трактате «Новая теория вращения тел».

Теорема описывает следующий эффект: вращение объекта относительно главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, в то время как вращение вокруг главной оси с промежуточным моментом инерции (откуда и название теорема промежуточной оси) — нет. Джанибеков увидел это с гайкой-барашком: скрутив её в невесомости с длинной шпильки, он заметил, что она пролетает немного, разворачивается на 180°, потом, ещё немного пролетев, опять разворачивается.

На Земле этот эффект можно увидеть на таком эксперименте: возьмите за ручку теннисную ракетку и попытайтесь подбросить её в воздух так, чтобы она выполнила полный оборот вокруг оси, проходящей в плоскости ракетки перпендикулярно рукоятке, и поймайте за ручку. Почти во всех случаях ракетка выполнит пол-оборота вдоль продольной оси и будет «смотреть» на вас другой стороной. Если подбрасывать ракетку и закручивать её по другим осям, то ракетка сохранит свою ориентацию после полного оборота.

Эксперимент может быть выполнен с любым предметом, который имеет три различных момента инерции, например с книгой или пультом дистанционного управления. Эффект возникает, когда ось вращения немного отличается от второй главной оси предмета; сопротивлением воздуха или гравитацией можно пренебречь.

Называть устойчивыми вращения вокруг осей с максимальным и минимальным моментом инерции всё же неправильно, учитывая реальные физические тела. Если существуют какие-либо силы, способные рассеивать энергию вращения, например приливные, тело со временем будет вращаться только вокруг оси с максимальным моментом инерции. Так вращаются все астероиды и планеты, включая Землю. Поэтому спекуляции о возможном повороте оси вращения Земли необоснованны.

Математическое обоснование

Теорема промежуточной оси может быть проанализирована с помощью уравнений Эйлера.

При свободном вращении они принимают следующую форму:

$\begin{array}{cc}{I}_1{\dot{\omega }}_1& =(I_2-I_3){\omega }_2{\omega }_3,\text{(1)}\\ I_2{\dot{\omega }}_2& =(I_3-I_1){\omega }_3{\omega }_1,\text{(2)}\\ I_3{\dot{\omega }}_3& =(I_1-I_2){\omega }_1{\omega }_2.\text{(3)}\end{array}$

Здесь $I_1,I_2,I_3$ обозначают главные моменты инерции, и мы предполагаем, что $I_1>I_2>I_3.$ Угловые скорости вращения вокруг трёх главных осей — ${\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3,$ их производные по времени — ${\dot{\omega }}_1,{\dot{\omega }}_2,{\dot{\omega }}_3.$

Рассмотрим ситуацию, когда объект вращается вокруг оси с моментом инерции $I_1.$ Для определения характера равновесия предположим, что существуют две малые начальные угловые скорости вдоль других двух осей. В результате, согласно уравнению (1), ${\dot{\omega }}_1$ очень мала. Следовательно, зависимостью от времени ${\omega }_1$ можно пренебречь.

Теперь дифференцируем уравнение (2) по времени и подставим ${\dot{\omega }}_3$ из уравнения (3):

$\begin{array}{cc}{I}_2{I}_3{\ddot{\omega }}_2& =(I_3-I_1)(I_1-I_2){\omega }_1^2{\omega }_2.\\ \end{array}$

Обратим внимание, что знаки у ${\omega }_2$ и ${\ddot{\omega }}_2$ разные, поскольку множитель $(I_3-I_1)$ отрицателен, а множители $(I_1-I_2)$ и ${\omega }_1^2$ положительны. Следовательно, изначально малая скорость ${\omega }_2$ будет оставаться малой и в дальнейшем. Дифференцируя уравнение (3), можно доказать и устойчивость относительно возмущения ${\omega }_3.$ Поскольку обе скорости ${\omega }_2$ и ${\omega }_3$ остаются малыми, из (1) следует, что малой остаётся и ${\dot{\omega }}_1$. Поэтому вращение вокруг оси 1 происходит с постоянной скоростью.

Аналогичное рассуждение показывает, что вращение вокруг оси с моментом инерции $I_3$ тоже устойчиво.

Теперь применим эти рассуждения к случаю вращения относительно оси с моментом инерции $I_2$. В этот раз ${\dot{\omega }}_2$ очень мала. Следовательно, зависимостью от времени ${\omega }_2$ можно пренебречь.

Теперь дифференцируем по времени уравнение (1) и подставим ${\dot{\omega }}_3$ из уравнения (3):

$\begin{array}{cc}{I}_1{I}_3{\ddot{\omega }}_1& =(I_2-I_3)(I_1-I_2){\omega }_2^2{\omega }_1.\\ \end{array}$

Обратим внимание, что знаки у ${\omega }_1$ и ${\ddot{\omega }}_1$ одинаковые, поскольку все три множителя $(I_2-I_3),$ $(I_1-I_2)$ и ${\omega }_2^2$ положительны. Следовательно, изначально малая скорость ${\omega }_1$ будет экспоненциально нарастать до тех пор, пока ${\dot{\omega }}_2$ не перестанет быть малой и характер вращения вокруг оси 2 не изменится. Таким образом, даже небольшие возмущения вдоль других осей заставляют объект «переворачиваться».

См. также

• Кельтский камень
• Эйлеровы углы
• Момент инерции
• Эллипсоид инерции
• Сизифово охлаждение

Ссылки

• Видео эффекта Джанибекова с Международной космической станции, демонстрируется членами экипажа МКС-30 Антоном Шкаплеровым и Дэниелом Бёрбэнком
• Замедленное видео, демонстрирующее вращение ракетки для настольного тенниса
• Демонстрация эффекта Джанибекова, смоделированная с использованием Blender, также доступны исходники демонстрации
• Интуитивное объяснение эффекта Джанибекова