EPOC (схема шифрования)

EPOC (Шаблон:Lang-en; эффективное вероятностное шифрование с открытым ключом) — это вероятностная схема шифрования с открытым ключом.

EPOC был разработан в ноябре 1998 г. Т. Окамото (англ. T. Okamoto), С. Учияма (англ. S. Uchiyama) и Э. Фудзисаки (англ. E. Fujisaki) из NTT Laboratories в Японии. Он основан на модели случайного оракула, в которой функция шифрования с открытым ключом преобразуется в безопасную схему шифрования с использованием (действительно) случайной хеш-функции; результирующая схема разработана так, чтобы быть семантически защищённой от атак на основе подобранного шифротекстаШаблон:Sfn.

Виды схем

Функция шифрования EPOC — это функция OU (англ. Okamoto-Uchiyama), которую инвертировать так же сложно, как факторизировать составной целочисленный открытый ключ. Существует три версии EPOCШаблон:Sfn:

• EPOC-1, использующий одностороннюю функцию(англ. trapdoor function) и случайную функцию (хеш-функцию)Шаблон:Sfn.;
• EPOC-2, использующий одностороннюю функцию, две случайные функции (хеш-функции) и шифрование с симметричным ключом (например, одноразовый блокнот и блочные шифры)Шаблон:Sfn;
• EPOC-3 использует одностороннюю функцию OU (англ. Okamoto-Uchiyama) и две случайные функции (хеш-функции), а также любую симметричную схему шифрования, такую как одноразовые блокноты (англ. one-time pad) или блочный шифр.

СвойстваШаблон:SfnШаблон:Sfn

EPOC обладает следующими свойствами:

1. EPOC-1 семантически безопасен, устойчив к атакам на основе подобранного шифротекста (IND-CCA2 или NM-CCA2) в модели случайного оракулаШаблон:Sfn в предположении p-подгруппы, которое вычислительно сопоставимо с предположениями квадратичного вычета и вычетов более высокой степени.
2. EPOC-2 с одноразовым блокнотом семантически безопасен, устойчив к атакам на основе подобранного шифротекста (IND-CCA2 или NM-CCA2) в модели случайного оракула в предположении факторизации.
3. EPOC-2 с симметричным шифрованием семантически безопасен, устойчив к атакам на основе подобранного шифротекста (IND-CCA2 или NM-CCA2) в модели случайного оракула в рамках предположения факторизации, если базовое симметричное шифрование является безопасным против пассивных атак (атак вида, когда криптоаналитик имеет возможность только видеть предаваемые шифротексты и генерировать собственные, используя открытый ключ.).

Предыстория

Диффи и Хеллман предложили концепцию криптосистемы с открытым ключом (или односторонней функции) в 1976 году. Хотя многое криптографы и математики провели обширные исследования, чтобы реализовать концепцию криптосистем с открытым ключом в течение более чем 20 лет, было найдено очень мало конкретных методов, которые являются безопаснымиШаблон:Sfn.

Типичным классом методов является RSA-Rabin, представляющий собой комбинацию полиномиального алгоритма нахождения корня многочлена в кольце вычетов по модулю составного числа (в конечном поле)и неразрешимой задачи факторизации(по вычислительной сложности). Другим типичным классом методов является метод Диффи-Хеллмана, Эль-Гамаля, который представляет собой комбинацию коммутативного свойства логарифма в конечной Абелевой группе и неразрешимой задачи дискретного логарифмаШаблон:Sfn.

Среди методов RSA-Rabin и Diffie-Hellman-ElGamal для реализации односторонней функции ни одна функция, кроме функции Рабина и её вариантов, таких как её версии эллиптической кривой и Уильямса, не была доказана такой же надёжной, как примитивные задачиШаблон:Sfn(например, задачи факторизации и дискретного логарифма).

Окамото и Учияма, предложили одностороннюю функцию, названную OU (англ. Okamoto-Uchiyama), которая практична, доказуемо безопасна и обладает некоторыми другими интересными свойствамиШаблон:Sfn.

Свойства функции OUШаблон:Sfn

1. Вероятностная функция: это односторонняя, вероятностная функция. Пусть $E(m,r)$ — зашифрованный текст открытого текста $m$ со случайным $r$.
2. Односторонность функции: Доказано, что инвертирование функции так же трудно, как факторизация $n:=p^{2}q$.
3. Семантическая стойкость: Функция семантически безопасна, если верно следующее предположение (предположение p-подгруппы): $E(0,r)=h^r\text{ mod }n$ и $E(1,r^{\prime })=g{h}^{r^{\prime }}\text{ mod }n$ вычислительно неразличимы, где $r$ и $r^{\prime }$ равномерно и независимо выбраны из $𝐙/n𝐙$. Это предположение о неразличимости шифротекста для атак на основе подобранного открытого текста вычислительно сравнимо с поиском квадратичного вычета и вычета более высокой степени.
4. Эффективность: В среде использования криптосистем с открытым ключом, где криптосистема с открытым ключом используется только для распространения секретного ключа(например, длиной 112 и 128 бит) криптосистемы с секретным ключом(например, Triple DES и IDEA), скорость шифрования и дешифрования функции OU сравнима (в несколько раз медленнее) со скоростью криптосистем с эллиптической кривой.
5. Свойство гомоморфного шифрования: Функция обладает свойством гомоморфного шифрования: $E(m_0,r_0)E(m_1,r_1)\text{ mod }n=E(m_0+m_1,r_3),\text{ if }{m}_0+m_1<p$(Такое свойство используется для электронного голосования и других криптографических протоколов).
6. Неразличимость шифротекста: Даже тот, кто не знает секретного ключа, может изменить зашифрованный текст, $C=E(m,r)$, на другой зашифрованный текст, $C^{\prime }=C{h}^{r^{\prime }}\text{ mod }n$, сохраняя при этом открытый текст m (то есть $C^{\prime }=E(m,r^{″})$), и связь между $C$ и $C^{\prime }$ может быть скрыта (то есть $(C,C^{\prime })$ и $(C,E(m^{\prime },t)$ неразличимы). Такое свойство полезно для протоколов защиты конфиденциальности).

Доказательство безопасности схемы шифрования

Одним из важнейших свойств шифрования с открытым ключом является доказуемая безопасность. Самое сильное понятие безопасности в шифровании с открытым ключом — это понятие семантической защиты от атак на основе подобранного шифротекста.

Доказано, что семантическая защита от атак на основе адаптивно подобранного шифротекста (IND-CCA2) эквивалентна (или достаточна) самому сильному понятию безопасности (NM-CCA2)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Фудзисаки и Окамото реализовали две общие и эффективные меры для преобразования вероятностной односторонней функции в защищённую схему IND-CCA2 в модели случайного оракулаШаблон:Sfn. Одна из них — это преобразование семантически безопасной (IND-CPA) односторонней функции в защищённую схему IND-CCA2. Другая, от односторонней функции (OW-CPA) и шифрования с симметричным ключом (включая одноразовый блокнот) до защищённой схемы IND-CCA2. Последнее преобразование может гарантировать полную безопасность системы шифрования с открытым ключом в сочетании со схемой шифрования с симметричным ключомШаблон:Sfn.

Схема шифрования EPOC

Обзор

Схема шифрования с открытым ключом EPOC, которая задаётся триплетом $(𝒢,ℰ,𝒟)$, где $𝒢$-операция генерации ключа, $ℰ$-операция шифрования и $𝒟$-операция дешифрования.

Схемы EPOC: EPOC-1 и EPOC-2.

EPOC-1 предназначен для распределения ключей, а EPOC-2 предназначен для распределения ключей и передачи зашифрованных данных, а также распределения более длинного ключа при ограниченном размере открытого ключа.

Типы ключей

Существует два типа ключей: открытый ключ OU и закрытый ключ OU, оба из которых используются в криптографических схемах шифрования EPOC-1, EPOC-2Шаблон:Sfn.

OU открытый ключШаблон:Sfn

Открытый ключ OU — это набор $(n,g,h,pLen)$, компоненты которого имеют следующие значения:

• $n$ — неотрицательное целое число
• $g$ — неотрицательное целое число
• $h$ — неотрицательное целое число
• $pLen$ — секретный параметр, неотрицательное целое число

На практике в открытом ключе OU модуль $n$ принимает вид $n:=p^{2}q$, где $p$ и $q$ — два различных нечётных простых числа, а битовая длина $p$ и $q$ равна $pLen$. $g$-элемент в $(𝐙/n𝐙{)}^{*}$ такой, что порядок $g_p$ в $(𝐙/p^2𝐙{)}^{*}$ равен $p$, где $g_p:=g^{p-1}\text{ mod }{p}^2$. $h$-элемент в $(𝐙/n𝐙{)}^{*}$.

OU закрытый ключШаблон:Sfn

Закрытый ключ OU — это набор $(p,g,pLen,w)$, компоненты которого имеют следующие значения:

• $p$ — первый фактор, неотрицательное целое число
• $h$ — второй фактор, неотрицательное целое число
• $pLen$ — секретный параметр, неотрицательное целое число
• $w$ — значение $L(g_p)$, где $L(x)=\frac{x-1}{p}$, неотрицательное целое число

EPOC-1Шаблон:Sfn

Создание Ключа: G

Ввод и вывод $𝒢$ следующие:

[Входные данные]: Секретный параметр $k$($=pLen$) — положительное целое число.

[Выходные данные]: Пара открытого ключа $(n,g,h,H,pLen,mLen,hLen,rLen)$ и секретного ключа $(p,g_p)$.

Операция $𝒢$ со входом $k$ выглядит следующим образом:

• Выберем два простых числа $p$, $q$ ($|p|=|q|=k$) и вычислим $n:=p^{2}q$. Здесь $p-1=p^{\prime }u$ и $q-1=q^{\prime }v$ такое, что $p^{\prime }$ и $q^{\prime }$ — простые числа, а $|u|$ и $|v|$ такие, что $O(\log k)$.

• Выберем $g\in (𝐙/n𝐙{)}^{*}$ случайным образом так, чтобы порядок $g_p:=g^{p-1}\text{ mod }{p}^2$ был равен $p$ (Заметим, что НОД($p$, $q-1$)$=1$ и НОД($q$, $p-1$)$=1$).

• Выберем $h_0$ из $(𝐙/n𝐙{)}^{*}$ случайным образом и независимо от $g$. Вычислим $h:=h_n^0\text{ mod }n$.

• Установить $pLen:=k$. Установите $mLen$ и $rLen$ такими, что $mLen+rLen\le pLen-1$.

• Выберем хеш-функцию $H:\{0,1{\}}^{*}\to \{0,1{\}}^{hLen}$.

Примечание: $g_p$ является дополнительным параметром, повышающим эффективность дешифрования, и может быть вычислен из $p$ и $g$. $h=g^n\text{ mod }n$, когда $hLen=(2+c_0)k$ ($c_0$-константа $>0$). $H$ может быть зафиксирован системой и совместно использован многими пользователями.

Шифрование: E

Ввод и вывод $ℰ$ следующие:

[Входные данные]: Открытый текст $M\in \{0,1{\}}^{mLen}$ вместе с открытым ключом $(n,g,h,H,pLen,mLen,hLen,rLen)$.

[Выходные данные]: Шифротекст С.

Операция $ℰ$ со входами $M$, $(n,g,h,H,mLen,rLen)$ выглядит следующим образом:

• Выберем $R\in \{0,1{\}}^{rLen}$ и вычислим $r:=H(M\parallel R)$. Здесь $M\parallel R$ обозначает конкатенацию $M$ и $R$.

• Вычислить $C$:

$C:=g^{(M\parallel R)}{h}^r\text{ mod }n.$

Дешифрование: D

Ввод и вывод $𝒟$ следующие:

[Входные данные]: Шифротекст $C$ наряду с открытым ключом $(n,g,h,H,pLen,mLen,hLen)$ и секретным ключом $(p,g_p)$.

[Выходные данные]: Открытый текст $M$ или нулевая строка.

Операция $𝒟$ со входами $C$, $(n,g,h,H,pLen,mLen,hLen)$ и $(p,g_p)$ выглядит следующим образом:

• Вычислим $C_p:=C^{p-1}\text{ mod }{p}^2$, а $X:=\frac{L(C_p)}{L(g_p)}\text{ mod }p$, где $L(x):=\frac{x-1}{p}$.

• Проверим, верно ли следующее уравнение: $C=g^X{h}^{H(X)}\text{ mod }n$.

• Если выражение верно, то выведем $[X{]}^{mLen}$ как расшифрованный открытый текст, где $[X{]}^{mLen}$ обозначает наиболее значимые $mLen$ биты в $X$. В противном случае выведем нулевую строку.

EPOC-2Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Создание Ключа: G

Ввод и вывод $𝒢$ следующие:

[Входные данные]: Секретный параметр $k$($=pLen$).

[Выходные данные]: Пара открытого ключа $(n,g,h,H,G,pLen,hLen,gLen,rLen)$ и секретного ключа $(p,g_p)$.

Операция $𝒢$ со входом $k$ выглядит следующим образом:

• Выберем два простых числа $p$, $q$ ($|p|=|q|=k$) и вычислим $n:=p^{2}q$. Здесь $p-1=p^{\prime }u$ и $q-1=q^{\prime }v$ такое, что $p^{\prime }$ и $q^{\prime }$ — простые числа, а $|u|$ и $|v|$ такие, что $O(\log k)$.

• Выберем $g\in (𝐙/n𝐙{)}^{*}$ случайным образом так, чтобы порядок $g_p:=g^{p-1}\text{ mod }{p}^2$ был равен $p$.

• Выберем $h_0$ из $(𝐙/n𝐙{)}^{*}$ случайным образом и независимо от $g$. Вычислим $h:=h_n^0\text{ mod }n$.

• Установить $pLen:=k$. Установите $mLen$ и $rLen$ такими, что $mLen+rLen\le pLen-1$.

• Выберем хеш-функции $H:\{0,1{\}}^{*}\to \{0,1{\}}^{hLen}$ и $G:{0,1}^{*}\to \{0,1{\}}^{hLen}$.

Примечание: $g_p$ является дополнительным параметром, повышающим эффективность дешифрования, и может быть вычислено из $p$ и $g$. $h=g^n\text{ mod }n$, когда $hLen=(2+c_0)k$ ($c_0$-константа $>0$). $H$ и $G$ могут быть зафиксированы системой и совместно использованы многими пользователями.

Шифрование: E

Пусть $SymE=(SymEnc,SymDec)$ — пара алгоритмов шифрования и дешифрования с симметричным ключом $K$, где длина $K$ равна $gLen$. Алгоритм шифрования $SymEnc$ принимает ключ $K$ и открытый текст $X$ и возвращает зашифрованный текст $SymEnc(K,X)$. Алгоритм расшифровки $SymDec$ принимает ключ $K$ и зашифрованный текст $Y$ и возвращает открытый текст $SymDec(K,Y)$.

Ввод и вывод $ℰ$ следующие:

[Входные данные]: Открытый текст $M\in \{0,1{\}}^{mLen}$ вместе с открытым ключом $(n,g,h,H,G,pLen,hLen,gLen,rLen)$ и $SymEnc$.

[Выходные данные]: Зашифрованный текст $C=(C_1,C_2)$.

Операция $ℰ$ со входами $M$, $(n,g,h,H,G,pLen,hLen,gLen,rLen)$ и $SymEnc$ выглядит следующим образом:

• Выберем $r\in \{0,1{\}}^{rLen}$ и вычислим $G(R)$.

• Вычислим $H(M\parallel R)$. Здесь $M\parallel R$ обозначает конкатенацию $M$ и $R$.

• $C_1:=g^R{h}^{H(M\parallel R)}\text{ mod }n$; $C_2:=SymEnc(G(R),M)$

Примечание: типичный способ реализации $SymE$ — это одноразовый блокнот. То есть, $SymEnc(K,X):=K\oplus X$, и $SymDec(X,Y):=X\oplus Y$ , где $\oplus$ обозначает операцию побитового исключающего ИЛИ.

Дешифрование: D

Ввод и вывод $𝒟$ следующие:

[Входные данные]: Шифротекст $C=(C_1,C_2)$ наряду с открытым ключом $(n,g,h,H,G,pLen,hLen,gLen,rLen)$, секретным ключом $(p,g_p)$ и $SymDec$.

[Выходные данные]: Открытый текст $M$ или нулевая строка.

Операция $𝒟$ со входами $C=(C_1,C_2)$, $(n,g,h,H,G,pLen,hLen,gLen)$, $(p,g_p)$ и $SymDec$ выглядит следующим образом:

• Вычислим $C_p:=C^{p-1}\text{ mod }{p}^2$, а $R^{\prime }:=\frac{L(C_p)}{L(g_p)}\text{ mod }p$, где $L(x):=\frac{x-1}{p}$.

• Вычислим $M^{\prime }:=SymDec(G(R^{\prime }),C_2).$

• Проверим, верно ли следующее уравнение: $C=g^{R^{\prime }}{h}^{H(M^{\prime }\parallel R^{\prime })}\text{ mod }n$.

• Если выражение верно, то выведем $M^{\prime }$ как расшифрованный открытый текст. В противном случае выведем нулевую строку.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья