J-гомоморфизм

Шаблон:Нет ссылок J-гомоморфизм — гомоморфизм из гомотопических групп ${\pi }_r(\mathrm{S}\mathrm{O}(q))$ специальных ортогональных групп в гомотопические группы сфер. Он был определен Джорджем Уайтхедом как обобщение конструкции Хайнца Хопфа, который построил этот гомоморфизм для случая $r=q+1$.

Построение

J-гомоморфизм есть гомоморфизм абелевых групп

$J:{\pi }_r(\mathrm{S}\mathrm{O}(q))\to {\pi }_{r+q}({𝕊}^q),$

определённый для всех целых чисел $r,q⩾2$.

Элемент специальной ортогональной группы $\mathrm{S}\mathrm{O}(q)$ можно рассматривать как отображение

${𝕊}^{q-1}\to {𝕊}^{q-1}.$

Значит, элементам гомотопической группы ${\pi }_r(\mathrm{S}\mathrm{O}(q))$ сопоставляется гомотопический класс отображения

${𝕊}^r\times {𝕊}^{q-1}\to {𝕊}^{q-1}.$

Применение к этому конструкции Хопфа даёт отображение

${𝕊}^{r+q}={𝕊}^r*{𝕊}^{q-1}\to S({𝕊}^{q-1})={𝕊}^q,$

гомотопический класс которого есть образ этого элемента при J-гомоморфизме.