Большие числа

Шаблон:Другие значения термина Шаблон:О Неформально (обычно в развлекательной математике и научно-популярной литературе) большими числами называют числа, значительно превосходящие числа, используемые в повседневной жизни. С XV века большими считались числа больше тысячи, например миллион.

Изучение больших чисел и их номенклатуры иногда называются термином гугология (Шаблон:Lang-en). Термин был образован как комбинация слов «гугол» (классическое большое число) и «логос» (учение). Термин введён любителем математики Джонатаном Бауэрсом.

История

Несмотря на то что гугология — современный термин, история изучения человеком больших чисел уходит в глубокую древность.

III век до н. э. — Архимед в своём труде Псаммит представил нотацию, позволяющую записывать числа до $10^{8\cdot 10^{16}}$. В связи с этим его иногда называют первым «гугологистом».

I век н. э. — В буддистском священном тексте Аватамсака-сутра было упомянуто число $\approx 10^{10^{32}}$

1928 год — Вильгельм Аккерман опубликовал свою функцию.

1940 год — Эдвард Казнер описал числа гугол ($10^{100}$) и гуголплекс ($10^{10^{100}}$).

1947 год — Шаблон:Нп5 дал наименование операциям тетрации ($a\uparrow \uparrow b$), пентации ($a\uparrow \uparrow \uparrow b$) и гексации ($a{\uparrow }^{4}b$).

1970 год — С. Вайнер дал определение быстрорастущей иерархии.

1976 год — Дональд Кнут изобрёл стрелочную нотацию (предел $\omega$ в терминологии быстрорастущей иерархии).

1977 год — Мартин Гарднер в журнале Scientific American описал число Грэма ($G=g(64)=f^{64}(4)$, где $f(n)=3{\uparrow }^{n}3$. Функция $g(n)$ имеет скорость роста порядка $\omega +1$).

1983 год — была изобретена нотация Штейнгауза — Мозера(предел $\omega$).

1995 год — Джон Конвей изобрёл цепную стрелочную нотацию(предел ${\omega }^2$).

2002 год — Д. Бауэрс (J. Bowers) опубликовал свои нотацию массива (предел ${\omega }^{\omega }$) и расширенную нотацию массива (предел ${\omega }^{{\omega }^{\omega }}$).

2002 год — Шаблон:Нп5 дал определение функции TREE(n), имеющей скорость роста $\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }\omega )$.

2006 год — Х. Фридман дал определение быстрорастущим функциям SCG(n) и SSCG(n).

2007 год — Д. Бауэрс определил ещё более мощную нотацию BEAF (данная нотация хорошо определена до ${\epsilon }_0$, числа, превосходящие этот уровень, вызывают противоречивость оценок).

Список гугологизмов

Шаблон:Неавторитетные источники Математические объекты, имеющие отношения к гугологии (в том числе большие числа), называются гугологизмами. В настоящее время наименования даны для нескольких тысяч чисел, превосходящих гугол. Ниже приведён список некоторых гугологизмов и их выражения в наиболее известных нотациях. Перед выражением в той нотации, в которой число было записано автором, стоит знак равенства, выражения для того же числа в других нотациях представляют собой аппроксимации.

Имя числа	Степень десяти	Нотация Кнута	Нотация Конвея	Нотация Бауэрса (нотация массива)	Нотация Сайбиана (гипер-E нотация)	Быстрорастущая иерархия
Гугол	$=10^{100}$	$10\uparrow 100$	$10\to 100$	$\{10,100\}$	$E100$	$f_2(324)$
Гуголплекс	$=10^{10^{100}}$	$10\uparrow 10\uparrow 100$	$10\to (10\to 100)$	$\{10,\{10,100\}\}$	$E100\mathrm{\#}2$	$f_2^2(324)$
Гиггол (Giggol)	$\underset{\text{100 десяток}}{\underbrace{10^{10^{10^{{\cdots }^{10^{10}}}}}}}$	$10{\uparrow }^{2}100$	$10\to 100\to 2$	$=\{10,100,2\}$	$E1\mathrm{\#}100$	$f_3(100)$
Гаггол (Gaggol)	$\begin{array}{ccc}& & \underbrace{10^{10^{10^{{\cdots }^{10^{10}}}}}}\\ & & \underbrace{10^{10^{10^{{\cdots }^{10^{10}}}}}}\\ & & \underbrace{⋮}\\ & & \underbrace{10^{10^{10^{{\cdots }^{10^{10}}}}}}\\ & & \text{10 десяток}\end{array}\}\text{100 }$	$10{\uparrow }^{3}100$	$10\to 100\to 3$	$=\{10,100,3\}$	$E1\mathrm{\#}1\mathrm{\#}100$	$f_4(100)$
Бугол (Boogol)		$10{\uparrow }^{100}10$	$10\to 10\to 100$	$=\{10,10,100\}$	$E100\mathrm{\#}\mathrm{\#}100$	$f_{101}(100)$
Число Грэма		$=\begin{array}{ccc}& & \underbrace{3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3}\\ & & \underbrace{3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3}\\ & & \underbrace{⋮}\\ & & \underbrace{3\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow 3}\\ & & 3{\uparrow }^{4}3\text{стрелок}\end{array}\}\text{64 }$	$3\to 3\to 64\to 2$	$\{3,65,1,2\}$	$E(3)3\mathrm{\#}\mathrm{\#}4\mathrm{\#}64$	$f_{\omega +1}(64)$
Траддом (Traddom)			$10\to 10\to 11\to 4$	$\{10,10,3,2\}$	$E10\mathrm{\#}\mathrm{\#}10\mathrm{\#}\mathrm{\#}4$	$=f_{\omega +3}(10)$
Биггол (Biggol)			$10\to 10\to 10\to 100$	$=\{10,10,100,2\}$	$E100\mathrm{\#}\mathrm{\#}100\mathrm{\#}\mathrm{\#}100$	$f_{\omega .2}(100)$
Трултом (Trultom)			$10\to 10\to 10\to 10\to 11$	$\{10,10,10,3\}$	$E10\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}4$	$=f_{\omega .3}(10)$
Тругол (Troogol)			$\underset{101\to }{\underbrace{10\to 10\to \cdots \to 10}}$	$=\{10,10,10,100\}$	$E100\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}100$	$f_{{\omega }^2}(100)$

Числа, приведённые ниже, находятся уже за пределами применения нотаций Кнута и Конвея.

имя числа	нотация Бауэрса (BEAF)	нотация Сайбиана	быстрорастущая иерархия
Квадругол (Quadroogol)	$=\{10,10,10,10,100\}$	$E100\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}100$	$f_{{\omega }^3}(100)$
Квадрексом (Quadrexom)	$\{10,10,10,10,10,10\}$	$E10\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}10$	$=f_{{\omega }^4}(10)$
Квинтугол (Quintoogol)	$=\{10,10,10,10,10,100\}$	$E100\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}\mathrm{\#}100$	$f_{{\omega }^4}(100)$
Губол (Goobol)	$=\{10,100(1)2\}=$ $=\underset{100\text{десяток}}{\underbrace{\{10,10,10,\cdots ,10,10\}}}$	$E100{\mathrm{\#}}^{99}100$	$f_{{\omega }^{98}}(100)$
Бубол (Boobol)	$=\{10,10,100(1)2\}$	E100#^#100##100	$f_{{\omega }^{\omega }+99}(100)$
Трубол (Troobol)	$=\{10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100###101	$f_{{\omega }^{\omega }+{\omega }^2}(100)$
Квадрубол (Quadroobol)	$=\{10,10,10,10,100(1)2\}$	E100#^#100####101	$f_{{\omega }^{\omega }+{\omega }^3}(100)$
Гутрол (Gootrol)	$=\{10,100(1)3\}$	E100#^#100#^#100	$f_{{\omega }^{\omega }.2}(100)$
Госсол (Gossol)	$=\{10,10(1)100\}$	E100#^#*#100	$f_{{\omega }^{\omega +1}}(100)$
Моссол (Mossol)	$=\{10,10(1)10,100\}$	E100#^#*##100	$f_{{\omega }^{\omega +2}}(100)$
Боссол (Bossol)	$=\{10,10(1)10,10,100\}$	E100#^#*###100	$f_{{\omega }^{\omega +3}}(100)$
Троссол (Trossol)	$=\{10,10(1)10,10,10,100\}$	E100#^#*####100	$f_{{\omega }^{\omega +4}}(100)$
Дубол (Dubol)	$=\{10,100(1)(1)2\}$	E100#^#*#^#100	$f_{{\omega }^{\omega .2}}(100)$
Дутрол (Dutrol)	$=\{10,100(1)(1)3\}$	E100#^#*#^#100#^#*#^#100	$f_{{\omega }^{\omega .2}.2}(100)$
Колоссол (Colossol)	$=\{10,10(3)2\}$	E10#^###10	$f_{{\omega }^{{\omega }^3}}(10)$
Тероссол (Terossol)	$=\{10,10(4)2\}$	E10#^####10	$f_{{\omega }^{{\omega }^4}}(10)$
Петоссол (Petossol)	$=\{10,10(5)2\}$	E10#^#####10	$f_{{\omega }^{{\omega }^5}}(10)$
Гонгулус (Gongulus)	$=\{10,10(100)2\}$	E10#^#^#100	$f_{{\omega }^{{\omega }^{100}}}(10)$
Годтосол (Godtothol)	$\{100,100((1)1)2\}$	=E100#^#^#^#100	$f_{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}}(100)$
Годтопол (Godtopol)	$\{100,100(((1)1)1)2\}$	=E100#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 6}(100)$
Годоктол (Godoctol)	$\{100,100((((0,1)1)1)1)2\}$	=E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100	$f_{\omega \uparrow \uparrow 9}(100)$
Декотетром (Dekotetrom)	$X{\uparrow }^{2}9\mathrm{\&}10$	E10#^^#10	$=f_{\omega \uparrow \uparrow 10}(10)$
Гоппатос (Goppatoth)	$=10\uparrow \uparrow 100\mathrm{\&}10$	E10#^^#101	$f_{{\epsilon }_0}(101)$
Тесракросс (Tethracross)	$X{\uparrow }^3{X}^2\mathrm{\&}100$	=E100#^^##100	$f_{{\zeta }_0}(100)$
Тесракубор (Tethracubor)	$X{\uparrow }^{4}101\mathrm{\&}100$	=E100#^^###100	$f_{{\eta }_0}(100)$
Тесратерон (Tethrateron)	$X{\uparrow }^{5}101\mathrm{\&}100$	=E100#^^####100	$f_{\phi (4,0)}(100)$
Пентаксулум (Pentacthulhum)	$\{X,X,1,2\}\mathrm{\&}100$	=E100#^^^#100	$f_{{\mathrm{\Gamma }}_0}(99)$
Гексаксулум (Hexacthulhum)	$\{X,X,1,3\}\mathrm{\&}100$	=E100#^^^^#100	$f_{\phi (2,0,0)}(99)$
Годсгодгулус (Godsgodgulus)	$\{X,X,1,99\}\mathrm{\&}100$	=E100#{100}#100	$f_{\phi (98,0,0)}(99)$
TREE(3)			$f_{\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }\omega )}(3)$
SCG(13)			$f_{{\psi }_{\mathrm{\Omega }}({\mathrm{\Omega }}_{\omega })}(13)$

Применение больших чисел в других областях науки

Космология

• Диаметр видимой части Вселенной Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle 8,8 × 10^{26}} м
• Число атомов в видимой части Вселенной $\approx 10^{80}$ (по разным оценкам от Шаблон:Val до Шаблон:Val).
• Число объёмов Планка ($l_P^3$, где Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle l_P=1,6 × 10^{-35}} м — планковская длина) в видимой части Вселенной $\approx 4,7\times 10^{184}$
• Диаметр Вселенной в соответствии с некоторыми инфляционными моделями $\approx 10^{10^{12}}$м
• Возможное число вселенных в мультиверсуме по оценке А. Линде и В. Ванчурина в соответствии с хаотической теорией инфляции $10^{10^{10^7}}$.

Статистическая механика

• Вероятность того, что в 1 см³ обычного воздуха вследствие случайного хаотического движения молекул объём 1 мм³ в течение 1 секунды будет оставаться абсолютно пустым $1/10^{10^{13}}$ (что соответствует времени ожидания $10^{10^{13}}$ с.)
• Время ожидания появления больцмановского мозга в результате квантовой флуктуации в де-ситтеровском вакууме $\approx 10^{10^{50}}$ лет.
• Время возвращения Пуанкаре для квантового состояния гипотетического ящика, вмещающего чёрную дыру, масса которой равна массе Вселенной согласно некоторым инфляционным моделям $\approx 10^{10^{10^{10^{10^{1,1}}}}}$ лет.

Теория графов

• Число Грэма — верхняя граница для наименьшего числа измерений гиперкуба, при котором двухцветная раскраска линий, соединяющих все пары вершин этого куба, обязательно содержит одноцветный 4-вершинный копланарный полный подграф
• TREE(3)
• SCG(13)

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Googology — статья в Googology Wiki.