Дифференциальные формы в электромагнетизме

Дифференциальные формы в электромагнетизме — одна из возможных математических формулировок классической электродинамики при помощи дифференциальных форм в четырёхмерном пространстве-времени.

Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

$\mathbf{\text{𝐅}}=\frac{1}{2}{F}_{ab}\mathrm{d}{x}^a\wedge \mathrm{d}{x}^b.$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная к 4-вектору тока, имеет вид

$\mathbf{\text{𝐉}}=J^a{\epsilon }_{abcd}\mathrm{d}{x}^b\wedge \mathrm{d}{x}^c\wedge \mathrm{d}{x}^d.$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

$\mathrm{d}\mathbf{\text{𝐅}}=\mathbf{\text{𝟎}}$,

$\mathrm{d}\ast \mathbf{\text{𝐅}}=\ast \mathbf{\text{𝐉}}$,

где $\ast$ — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма $\ast 𝐅$ также называется 2-формой Максвелла.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики, М.: Едиториал УРСС, 2003. — ISBN 5-354-00341-5
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971
• Болибрух А. А. Уравнения Максвелла и дифференциальные формы, МЦНМО, 2002.

См. также

• Диада (Шаблон:Lang-en)
• Двухэлементный тензор (Шаблон:Lang-en)
• Умножение двухэлементного тензора (Шаблон:Lang-en)
• Кватернион
• Внешняя алгебра