Икосаэдрическая пирамида

Икосаэдрическая пирамида
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) правильной икосаэдрической пирамиды в трёхмерное пространство
Тип	Шаблон:Не переведено 5
Символ Шлефли	( ) ∨ {3,5}
Ячеек	21
Граней	50
Рёбер	42
Вершин	13
Двойственный политоп	Додекаэдрическая пирамида

Ортогональная двумерная проекция равногранной икосаэдрической пирамиды, вращающейся вокруг плоскости, проходящей через два параллельных ребра её основания

Икосаэдри́ческая пирами́да — четырёхмерный многогранник (многоячейник): Шаблон:Не переведено 5, имеющая основанием икосаэдр.

Описание

Ограничена 21 трёхмерной ячейкой — 20 тетраэдрами и 1 икосаэдром. Икосаэдрическая ячейка окружена всеми двадцатью тетраэдрическими; каждая тетраэдрическая ячейка окружена икосаэдрической и тремя тетраэдрическими.

Её 50 двумерных граней — треугольники. 20 граней разделяют икосаэдрическую и тетраэдрическую ячейки, остальные 30 — две тетраэдрических.

Имеет 42 ребра. На 30 рёбрах сходятся по три грани и по три ячейки (икосаэдрическая и две тетраэдрических), на остальных 12 — по пять граней и по пять ячеек (только тетраэдрические).

Имеет 13 вершин. В 12 вершинах сходятся по 6 рёбер, по 10 граней и по 6 ячеек (икосаэдрическая и пять тетраэдрических); в 1 вершине — 12 рёбер, 30 граней и все 20 тетраэдрических ячеек.

Равногранная икосаэдрическая пирамида

Если все рёбра икосаэдрической пирамиды имеют равную длину $a$, её грани являются одинаковыми правильными треугольниками. Четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности такой пирамиды выражаются соответственно как

$V_4=\frac{5}{96}(1+\sqrt{5})a^4\approx \mathrm{0,1685452}{a}^4,$

$S_3=\frac{5}{12}(3+4\sqrt{2}+\sqrt{5})a^3\approx \mathrm{4,5387176}{a}^3.$

Высота пирамиды при этом будет равна

$H=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)a\approx \mathrm{0,3090170}a,$

радиус описанной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) —

$R=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})a\approx \mathrm{1,6180340}a,$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\rho }_1=\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a\approx \mathrm{1,5388418}a,$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\rho }_2=\frac{1}{6}(\sqrt{15}+3\sqrt{3})a\approx \mathrm{1,5115226}a,$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек) —

$r=\frac{(4\sqrt{2}-5)(2+\sqrt{5})-1}{12}a\approx \mathrm{0,1485399}a.$

Центр вписанной гиперсферы располагается внутри пирамиды, центры описанной и обеих полувписанных гиперсфер — в одной и той же точке вне пирамиды.

Такую пирамиду можно получить, взяв выпуклую оболочку любой вершины шестисотячейника и всех 12 соседних вершин, соединённых с ней ребром.

Угол между двумя смежными тетраэдрическими ячейками будет равен $\arccos (-\frac{1+3\sqrt{5}}{8})\approx \mathrm{164,4}{8}^{\circ },$ как и в шестисотячейнике. Угол между икосаэдрической ячейкой и любой тетраэдрической будет равен $\arccos \frac{\sqrt{7+3\sqrt{5}}}{4}\approx \mathrm{22,2}{4}^{\circ }.$

В координатах

Равногранную икосаэдрическую пирамиду с длиной ребра $2$ можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• $(0;\pm 1;\pm \mathrm{\Phi };0),$
• $(\pm \mathrm{\Phi };0;\pm 1;0),$
• $(\pm 1;\pm \mathrm{\Phi };0;0),$
• $(0;0;0;{\mathrm{\Phi }}^{-1}),$

где $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — отношение золотого сечения.

Ссылки

• Richard Klitzing. Icosahedral pyramid