Инвариантная мера

Инвариантная мера — в теории динамических систем мера, определённая в фазовом пространстве, связанная с динамической системой и не изменяющаяся с течением времени при эволюции состояния динамической системы в фазовом пространстве. Понятие инвариантной меры применяется при усреднении уравнений движения, в теории показателей Ляпунова, в теории метрической энтропии и вероятностных фрактальных размерностейШаблон:Sfn.

Определение

В теории динамических систем, мера $\mu$ на пространстве $(X,\mathrm{\Sigma })$ называется инвариантной для измеримого отображения $f:(X,\mathrm{\Sigma })\to (X,\mathrm{\Sigma })$, если она совпадает со своим образом $f_{\ast }\mu$Шаблон:Sfn. В силу определения, это означает, что

$\mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Sigma }\mu (A)=\mu (f^{-1}(A)).(\ast )$

Для обратимых отображений переход к прообразу в (*) может быть заменён на переход к образу: если отображение $f^{-1}$ также измеримо в смысле $(X,\mathrm{\Sigma })$, то эквивалентным является определение

$\mathrm{\forall }A\in \mathrm{\Sigma }\mu (A)=\mu (f(A)).$

Однако в общей ситуации изменять определение таким образом нельзя: мера Лебега на окружности $S^1$ инвариантна относительно отображения удвоения $x\mapsto 2xmod1$, однако мера дуги $[0,1/3]$ отлична от меры её образа $[0,2/3]$.

Примеры

• Отображение $x_{n+1}=2x_{n}mod1\equiv f(x_n)$Шаблон:Sfn. Уравнение Перрона — Фробениуса для него имеет вид $p(x)=\frac{1}{2}[p\left(\frac{x}{2}\right)+p\left(\frac{x+1}{2}\right)]$. Подставляя это выражение в его же правую часть, получаем: $p(x)=\frac{1}{4}[p\left(\frac{x}{4}\right)+p\left(\frac{x+1}{4}\right)+p\left(\frac{x+2}{4}\right)+p\left(\frac{x+3}{4}\right)]$. Повторяя эту подстановку $n$ раз, получаем: $p(x)=\frac{1}{2^n}\sum _{i=0}^{2^n-1}p\left(\frac{x+i}{2^n}\right)\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{\to }{\int }_0^{1}p(x)dx=1$. Эта мера устойчива, то есть произвольная непрерывная мера будет сходится к ней.
• Отображение $x_{n+1}=1-2|x_n|,x\in [-1,1]$ или $x_{n+1}=1-2|2x_n-1|$, $x\in [0,1](1)$Шаблон:Sfn. Существование устойчивой непрерывной инвариантной меры с $p(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ доказывается аналогично.
• Логистическое отображение $x_{n+1}=1-2x_n^2$, $x\in [-1,1]$Шаблон:Sfn. Производим замену $x=-\cos \pi \theta$, $\theta \in [0,1]$, получаем $-\cos \pi {\theta }_{n+1}=1-2(\cos \pi {\theta }_n{)}^2=-\cos 2\pi {\theta }_n$, ${\theta }_{n+1}=\{\begin{array}{cc}2{\theta }_n,& {\theta }_n⩽\frac{1}{2}\\ 2-2{\theta }_n,& {\theta }_n>\frac{1}{2}\end{array}$, что можно преобразовать к виду (1). Следовательно, для $\theta$ существует непрерывная постоянная плотность вероятности $p(\theta )=1$. Плотность вероятности для $x$ следует из неё: $p(x)=\frac{1}{\pi \sqrt{1-x^2}}$.

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Теорема Крылова — Боголюбова
• Теорема Биркгофа — Хинчина
• Альтернатива Жиса — Маргулиса