Альтернатива Жиса — Маргулиса

Альтернатива Жиса — Маргулиса — теорема о строении подгрупп группы гомеоморфизмов окружности, являющаяся аналогом альтернативы Титса.

Введение

В 1987 году Шаблон:Нп5 и Влад Сержиеску показали, что группа гомеоморфизмов окружности $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(S^1)$ не удовлетворяет альтернативе ТитсаШаблон:Sfn. А именно, группа Томпсона $F$, которая вкладывается в группу $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(S^1)$, не содержит ни разрешимых подгрупп конечного индекса, ни неабелевых свободных подгруппы.

В своём докладе на симпозиуме по динамическим системам, проходившем в Париже в июне 1998 года, Этьен Жис высказал предположение о том, что, тем не менее, в этом случае верен определённый аналог альтернативы Титса, который ему удалось доказать в аналитическом случае. В общем случае его гипотеза была доказана в 2000 году Григорием Александровичем МаргулисомШаблон:Sfn.

Формулировка

Для любой подгруппы $G⩽\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(S^1)$ выполняется хотя бы одно из следующих условий:

• на окружности $S^1$ существует борелевская вероятностная мера, инвариантная относительно действия группы $G$;
• группа $G$ содержит свободную подгруппу ранга два.

Во втором случае группа $G$ также содержит свободные подгруппы всех конечных и счётного рангов, поскольку свободная группа ранга два содержит их.

Примеры

Если все элементы группы $G$ являются изометриями (например, поворотами или отражениями), то мера Лебега на окружности $S^1$ инвариантна относительно действия группы $G$.

Если действие группы $G$ на окружности $S^1$ имеет хотя бы одну конечную орбиту, то среднее Шаблон:Нп5, соответствующих точкам этой орбиты, является вероятностной мерой, инвариантной относительно $G$.

Для группы Томпсона $T$ реализуется второе условие — она содержит неабелеву свободную подгруппу. Это связано с тем, что её действие на окружности минимально (см. далее).

Следствия

Примечательным следствием альтернативы Жиса — Маргулиса является следующая теорема о структуре минимальных действий групп на окружности.

Для любой подгруппы $G⩽\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(S^1)$, действующей на окружности $S^1$ минимально, выполняется в точности одно из следующих условий:

• группа $G$ содержит абелеву подгруппу индекса не более два и действие $G$ на $S^1$ сопряжено действию изометриями, а точнее, существует такой сохраняющий ориентацию автогомеоморфизм $\phi :S^1\to S^1$, что $\phi G{\phi }^{-1}⩽\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}(S^1)$;
• группа $G$ содержит свободную подгруппу ранга два.

В случае, если все гомеоморфизмы из $G$ сохраняют ориентацию, то есть $G⩽{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}_{+}(S^1)$, в первом условии можно заменить $\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}(S^1)$ на группу вращений ${\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{+}(S^1)\cong {\mathrm{S}\mathrm{O}}_2(ℝ)$ и, тем самым, в этом случае группа $G$ сама абелева.

Указанная теорема следующим образом выводится из альтернативы Жиса — МаргулисаШаблон:Sfn. В силу минимальности носитель вероятностной меры, инвариантной относительно данного действия группы, совпадает со всей окружностью. Любая борелевская вероятностная мера на окружности $S^1$, носитель которой совпадает со всей окружностью, может быть переведена некоторым сохраняющим ориентацию автогомеоморфизмом в меру ЛебергаШаблон:Sfn. Тем самым, действие, полученное сопряжением таким автогомеоморфизмом окружности, сохраняет меру Лебега, то есть является действием изометриями.

Доказательство

В своём доказательстве альтернативы Маргулис сначала устанавливает истинность указанного выше следствия, а затем выводит из него общий случай с помощью определённого рассуждения, принадлежащего Стивену Хёрдеру.

Доказательство частного случая альтернативы, соответствующего следствию, состоит в следующем.

Если действие группы $G$ на окружности $S^1$ равномерно непрерывно, то замыкание группы $G$ в пространстве $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}(S^1)$, рассматриваемом с компактно-открытой топологией, компактно. В этом случае искомая инвариантная мера на окружности может быть получена усреднением (вероятностной) меры Хаара на этом замыканииШаблон:Sfn.

Если минимальное действие $G$ на окружности $S^1$ не является равномерно непрерывным, то оказывается, что оно является проксимальным, то есть для любых двух точек $x,y\in S^1$ существует такая бесконечная последовательность $\{g_i\}$ элементов из $G$, что

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_i(x)=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{g}_i(y)$.

Далее устанавливается, что к группе, действующей минимально и проксимально на окружности, применима Шаблон:Нп5, откуда следует, что она содержит свободную подгруппу ранга два.

Литература

• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья