Альтернатива Титса

Альтернатива Титса — теорема о строении конечно порожденных линейных групп. Названа в честь Жака Титса.

Формулировка

Пусть $G$ конечно порождённая линейная группа над некоторым полем. Тогда для $G$ выполняется в точности одно из следующих утверждений

• Либо $G$ почти разрешима, то есть  содержит разрешимую подгруппу конечного индекса.
• Либо $G$ содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.

Следствия

• Линейная группа не аменабельна, тогда и только тогда, когда она содержит неабелеву свободную группу.
  • Иначе говоря, гипотеза фон Неймана справедлива и для линейных групп.
• Альтернатива Титса является важным компонентом в доказательстве теоремы Громова о группах полиномиального роста. 

Вариации и обобщения

Говорят, что группа $G$ удовлетворяет альтернативе Титса, если для каждая подгруппы $H<G$ почти разрешима или содержит неабелеву свободную подгруппу. Иногда в определении дополнительно предполагают, что $H$ конечно порождена.

Примеры групп, удовлетворяющих альтернативе Титса, включают линейные группы, а также:

• Гиперболические группы
• Группа классов преобразований поверхности
• Шаблон:Iw

Примеры групп, не удовлетворяющих альтернативе Титса:

• Группа Григорчука;
• Группа F Томпсона.

О доказательстве

В доказательстве рассматривают замыкание $\overline{G}$ группы $G$ в топологии Зарисского. Если $\overline{G}$ разрешима, то и группа $G$ разрешима. В противном случае переходят к рассмотрению образа $G$ в компоненте Леви $\overline{G}$. Если она некомпактна, то Шаблон:Iw завершает доказательство. Если она компактна, то либо все собственные значения элементов в образе $G$ корни единицы, а значит, образ $G$ конечен, или можно найти вложение, для которого применима пинг-понг лемма.

См. также

• Альтернатива Жиса — Маргулиса

Ссылки

• Шаблон:Статья