Критерий Попова

Критерий Попо́ва — математическое понятие, условие абсолютной устойчивости нелинейной системы управления c нелинейностью, лежащей в секторе.

Формулировка критерия

Рассматривается следующая система управленияШаблон:Sfn:

$\dot{x}=Ax+Bu,$

$y=Cx,$

$u=-\psi (y),$

где $x\in {ℝ}^n$, $u,y\in ℝ$, $A,B,C$ — матрицы подходящих размерностей, $\psi$ — нелинейная функция со значениями в $ℝ$. Предполагается, что

• матрица $A$ — гурвицева,
• пара $(A,B)$ управляема,
• пара $(A,C)$ наблюдаема,
• функция $\psi$ лежит в секторе $[0,k]$ для некоторого положительного числа $k$, то есть

$\psi (y)[\psi (y)-ky]⩽0,\mathrm{\forall }y\in ℝ.$

Тогда если найдётся такое неотрицательное число $\eta$, что число $-1/\eta$ не является собственным числом $A$ и

$\text{Re}(1+(1+i\eta \omega )kG(i\omega ))>0,\mathrm{\forall }\omega \in ℝ,$

где $G(s)=C(sE-A{)}^{-1}B$ — передаточная функция системы, то система абсолютно устойчива, то есть она равномерно асимптотически устойчива с любой нелинейностью $\psi$, удовлетворяющей секторному условиюШаблон:SfnШаблон:Sfn.

С использованием формулы $G(i\omega )=\text{Re}(G(i\omega ))+i\text{Im}(G(i\omega ))$ можно привести указанное неравенство к следующему виду:

$\frac{1}{k}+\text{Re}(G(i\omega ))-\eta \omega \text{Im}(G(i\omega ))>0,\mathrm{\forall }\omega \in ℝ.$

Если построить график левой части неравенства как функции от $\omega$, используя в качестве оси абсцисс $\text{Re}(G(i\omega ))$, а в качестве оси ординат $\omega \text{Im}(G(i\omega ))$, то неравенство будет выполняться, если график будет лежать справа от прямой, проходящей через точку $(-1/k,0)$ с угловым коэффициентом $1/\eta$. Такой способ изображения называется годографом Попова (сравни с годографом Найквиста)Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Круговой критерий