Минимальная поверхность Шварца

Минимальные поверхности Шварца — это периодические минимальные поверхности, первоначально описанные Карлом Шварцем.

В 1880-х годах Шварц и его студент Е. Р. Неовиус описали периодические минимальные поверхностиШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Им позднее дал названия Алан Шён в его фундаментальном отчёте, где он описал гироид и другие трижды периодические минимальные поверхностиШаблон:Sfn.

Поверхности генерировались с помощью симметрий: если дано решение задачи Плато для многоугольника, отражения поверхности относительно линий границы также даёт правильные минимальные поверхности, которые могут быть непрерывным образом соединены с исходным решением. Если минимальная поверхность встречает плоскость под прямыми углами, то зеркальное отражение относительно плоскости также может быть присоединено к поверхности. Следовательно, если дан подходящий начальный многоугольник, вписанный в единичную ячейку, периодическая поверхность может быть построенаШаблон:Sfn.

Поверхности Шварца имеют топологический род 3, минимальный род трижды периодических минимальных поверхностей^[1].

Они рассматривались как модели для периодических наноструктур в блок-сополимерах, электростанических эквипотенциальных поверхностях в кристаллахШаблон:Sfn и гипотетических отрицательно искривлённых графитовых фазахШаблон:Sfn.

Поверхность Шварца P («Primitive» = «Примитивная»)

Шён назвал эти поверхности «примитивными», поскольку они имеют два переплетённых конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой трубчатой версии простой кубической решётки. В то время как стандартная поверхность P имеет кубическую симметрию, ячейки могут иметь форму любого прямоугольника, что даёт семейство минимальных поверхностей с одной и той же топологиейШаблон:Sfn.

Поверхность можно аппроксимировать явной поверхностью

\cos (x) + \cos (y) + \cos (z) = 0

Шаблон:R.

Поверхность P рассматривалась для разработки прототипов тканевых каркасов с высоким отношением поверхности к объёму и высокой пористостьюШаблон:Sfn. Шаблон:Clear

Поверхность Шварца D («Diamond» = «Алмаз»)

Шён назвал эту поверхность «алмазом», поскольку она имеет два переплетающихся конгруэнтных лабиринта, каждый из которых имеет форму раздутой полой версии Шаблон:Не переведено 5. В литературе эта поверхность иногда называется поверхностью F.

Поверхность может быть аппроксимирована явной поверхностью