Омега-функция Райта

Омега-функция Райта на части действительной оси

Омега-функция Райта или функция Райта (обозначается ω) — математическая функция, определяемая через W-функцию Ламберта как:

$\omega (z)=W_{\lceil \frac{\mathrm{I}\mathrm{m}(z)-\pi }{2\pi }\rceil }(e^z).$

Применение

Одним из основных применений этой функции является решение уравнения z = ln(z), поскольку единственным решением является z = е^{−ω(π i)}.

y = ω(z) — единственное решение при $z\ne x\pm i\pi$, х ≤ −1 уравнения y + ln(y) = z. За исключением этих двух лучей, омега-функция Райта является непрерывной, даже аналитической.

Cвойства

Омега-функция Райта удовлетворяет соотношению $W_k(z)=\omega (\ln (z)+2\pi ik)$ ,

Она также удовлетворяет дифференциальному уравнению

$\frac{d\omega }{dz}=\frac{\omega }{1+\omega }$

везде, где ω является аналитической (это можно увидеть, выполнив разделение переменных и восстановив уравнение $\ln (\omega )+\omega =z$ ) и, как следствие, его интеграл может быть выражен как:

$\int w^{n}dz=\{\begin{array}{cc}\frac{{\omega }^{n+1}-1}{n+1}+\frac{{\omega }^n}{n}& \text{if }n\ne -1,\\ \ln (\omega )-\frac{1}{\omega }& \text{if }n=-1.\end{array}$

Его ряд Тейлора вокруг точки $a={\omega }_a+\ln ({\omega }_a)$ принимает форму:

$\omega (z)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{q_n({\omega }_a)}{(1+{\omega }_a{)}^{2n-1}}\frac{(z-a{)}^n}{n!}$

где

$q_n(w)=\sum _{k=0}^{n-1}⟨⟨\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}⟩⟩(-1{)}^k{w}^{k+1}$

в котором

$⟨⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩⟩$

— эйлерово число второго порядка.

Значения

$\begin{array}{ccc}\omega (0)& =W_0(1)& \approx 0.56714\\ \omega (1)& =1& \\ \omega (-1\pm i\pi )& =-1& \\ \omega (-\frac{1}{3}+\ln \left(\frac{1}{3}\right)+i\pi )& =-\frac{1}{3}& \\ \omega (-\frac{1}{3}+\ln \left(\frac{1}{3}\right)-i\pi )& =W_{-1}(-\frac{1}{3}{e}^{-\frac{1}{3}})& \approx -2.237147028\end{array}$

Графики

• Plots of the Wright Omega function on the complex plane
• 
  z = Re (ω ( x + i y ))
• 
  z = Im (ω ( x + i y ))
• 
  ω ( x + i y )

Ссылки

• "On the Wright ω function", Robert Corless and David Jeffrey Шаблон:Wayback