Представление Бурау

Представление Бурау — линейное представление группы кос, введённое в 1935 году немецким математиком Шаблон:Нп5.

Определение

Представлением Бурау (или неприведённым представлением Бурау) называется гомоморфизм

${\psi }_n:B_n\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathrm{\Lambda })$

из группы кос из $n\ge 2$ нитей в полную линейную группу кольца $\mathrm{\Lambda }:=\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$ многочленов Лорана с целыми коэффициентами одной переменной $t$, заданный на образующих Артина равенствомШаблон:SfnШаблон:Sfn

${\psi }_n({\sigma }_i):=\left(\begin{array}{cccc}{E}_{i-1}& 0& 0& 0\\ 0& 1-t& t& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& E_{n-i-1}\end{array}\right),$

где символ $E_k$ обозначает единичную матрицу размера $k\times k$, рассматриваемую как блок блочно-диагональной матрицы ${\psi }_n({\sigma }_i)$. Образом обратной образующей Артина при таком гомоморфизме является матрица

${\psi }_n({\sigma }_i^{-1}):=\left(\begin{array}{cccc}{E}_{i-1}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& t^{-1}& 1-t^{-1}& 0\\ 0& 0& 0& E_{n-i-1}\end{array}\right).$

Элементы образа представления Бурау называются матрицами Бурау.

Интерпретации

Данное линейное представление допускает следующую наглядную интерпретацию. С каждой косой $\beta \in B_n$ свяжем элемент ${\phi }_n(\beta )\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathrm{\Lambda })$, задав соответствующее ему линейное преобразование векторного пространства ${\mathrm{\Lambda }}^n$. Чтобы определить действие этого преобразования на упорядоченном наборе $({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)\in {\mathrm{\Lambda }}^n$, выберем диаграмму косы $\beta$ и следующим образом сопоставим элементы кольца $\mathrm{\Lambda }$ дугам этой диаграммы. Сначала для каждого $k\in \{1,2,\dots ,n\}$ отметим на дуге, содержащей $k$-ый левый конец косы (при нумерации концов снизу вверх), элемент ${\lambda }_k$. Далее, шаг за шагом распространим данное сопоставление на все остальные дуги: для каждого перекрёстка, в котором на двух из трёх составляющих его дуг уже отмечены элементы $x$ и $y$, где $y$ — метка верхней ветви перекрёстка, припишем оставшейся дуге элемент $tx+(1-t)y$, если перекрёсток является положительным, и элемент $t^{-1}x+(1-t^{-1})y$, если перекрёсток является отрицательным. Результатом действия искомого преобразования на исходном наборе полагается, по определению, упорядоченный набор $({{\lambda }_1}^{\prime },{{\lambda }_2}^{\prime },\dots ,{{\lambda }_n}^{\prime })$, где ${{\lambda }_k}^{\prime }$ — метка дуги, содержащей $k$-ый правый конец косы (при нумерации концов снизу вверх). Тогда

${\psi }_n={\phi }_n\circ {\tau }_n$,

где ${\tau }_n\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(B_n)$ — отражение кос.

Специализации

Отдельный интерес представляют специализации

$B_n\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℂ)$

представления Бурау, получающиеся из него подстановкой вместо переменной $t$ некоторого фиксированного ненулевого комплексного числа. Наиболее изученными являются специализации в корнях из единицы.

Перестановочное представление

Результат подстановки $t=1$ в матрицу Бурау косы является матрицей перестановки, соответствующей этой косе. Таким образом, специализация представления Бурау при $t=1$ совпадает с композицией

$B_n\to S_n\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$

гомоморфизма, отображающего косу в её перестановку, и Шаблон:Нп5 симметрической группы.

Целочисленное представление Бурау

Специализация представления Бурау при $t=-1$ имеет вид

$\rho :B_n\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})$

и называется целочисленным представлением Бурау. Его ядро называется заплетённой группой Торелли (от Шаблон:Lang-en) и обозначается символом $B{I}_n$.

Для $m\in \mathbb{N}$ композиция целочисленного представления Бурау с редукцией по модулю $m$ задаёт представление

${\rho }_m:B_n\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z})\to {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$.

Его ядро называется конгруэнтной подгруппой уровня $m$ (от Шаблон:Lang-en) или группой кос уровня $m$ (от Шаблон:Lang-en) и обозначается символом $B_n[m]$.

См. также

• Группа кос

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга