Принцип аргумента

Контур C изображён чёрным, нули f — синим, а полюса — красным. В данном случае ${\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}dz=2\pi i(4-5)$.

Принципом аргумента в комплексном анализе называют следующую теорему:

Теорема. Если функция $f$ мероморфна в замыкании некоторой односвязной ограниченной области $G$ с гладкой границей $\partial G$ и не имеет на её границе ни нулей, ни полюсов, то справедлива следующая формула:

$N-P=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{df}{f}=\frac{1}{2\pi }{\mathrm{\Delta }}_{\partial G}\arg f$ ,

где $N$ и $P$ — количества соответственно нулей и полюсов функции $f$ в $G$, учтённых каждый с его кратностью, а ${\mathrm{\Delta }}_{\partial G}\arg f$ — изменение аргумента $f(z)$ при обходе вдоль контура области $G$ (ориентация контура стандартная).

Доказательство

Пусть $f(z)=(z-a{)}^{k}g(z)$, причём функция $g$ голоморфна в точке $a$ и не равна в ней нулю (точка $a$ из области $G$). Тогда

$\frac{df}{f}=k\frac{dz}{z-a}+\frac{dg}{g}$.

Так как 1-форма $\frac{dg}{g}$ голоморфна в точке $a$, её вычет в этой точке равен нулю, и вычет формы $\frac{df}{f}$ в точке $a$ равен $k$, то есть он равен порядку нуля (или минус порядку полюса) функции $f$ в этой точке.

Используя эти соображения и основную теорему о вычетах, интеграл в формулировке теоремы можно вычислить явно:

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial G}{\int }\frac{df}{f}=\sum _a{\mathrm{res}}_a\frac{df}{f}=N-P$.

Таким образом, первая половина формулы доказана.

Чтобы доказать вторую половину формулы, проведём простой разрез $\mathrm{\Gamma }$ внутри области $G$, проходящий через все нули и полюса функции $f$, и выходящий на границу области $G$ в некоторой точке $z_0$. Область с разрезом $G$\$\mathrm{\Gamma }$ теперь односвязна, и замкнутая 1-форма $\frac{df}{f}$ не имеет особенностей внутри неё и на контуре $\partial G$ , и значит точна в $\bar{G}\setminus \mathrm{\Gamma }$, то есть допускает там первообразную $F(z)$. Функция $F(z)$ будет первообразной для формы $\frac{df}{f}$ также и вдоль контура области $G$ с выколотой точкой $z_0$. Поэтому можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

$\underset{\partial G}{\int }\frac{df}{f}=\underset{\partial G\setminus \{z_0\}}{\int }dF=F(z_0-0)-F(z_0+0)$.

Так как $dF=\frac{df}{f}=d(\ln f)$, то функция $F(z)$ с точностью до константы совпадает с некоторой однозначной ветвью логарифма функции $f$, и поэтому справедливо равенство:

$F(z)=\ln |f(z)|+i\arg f(z)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$.

Подставляя это выражение в формулу Ньютона-Лейбница, окончательно получаем:

$\underset{\partial G}{\int }\frac{df}{f}=F(z_0-0)-F(z_0+0)=i(\arg f(z_0-0)-\arg f(z_0+0))=i{\mathrm{\Delta }}_{\partial G}\arg f$.

См. также

• Теорема Абеля — Плана
• Аргумент