Супераддитивность

Супераддитивность — свойство числовой последовательности $\{a_n\}$ ($n⩾1$), при котором каждый элемент $(n+m)$-й элемент не меньше суммы $a_n$ и $a_m$ для любых $m$ и $n$: $a_{n+m}⩾a_n+a_m$.

Шаблон:ЯкорьПонятие введено в связи с леммой Фекете: для любой супераддитивной последовательности $\{a_n\}$ предел $\lim a_n/n$ существует и равен супремуму $\sup a_n/n$ (предел может быть положительной бесконечностью, например, для последовательности $a_n=\log n!$).

Свойство может быть распространено на функции: $f$ супераддитивна, если $f(x+y)⩾f(x)+f(y)$ для любых $x$ и $y$ из области определения. Например, $f(x)=x^2$ является супераддитивной функцией для неотрицательных действительных чисел, поскольку квадрат $x+y$ всегда больше или равен сумме квадратов $x$ и $y$ для любых неотрицательных действительных чисел $x$ и $y$ .

Полуаддитивность (субаддитивность) — двойственное понятие, результаты о супераддитивных функциях и последовательностях переносятся и на полуаддитивные объекты, в частности, аналог леммы Фекете верен и для полуаддитивных последовательностей. Существуют расширения леммы Фекете, которые не требуют, чтобы определение супераддитивности выполнялось для всех $m$ и $n$. Есть также результаты, которые позволяют вывести скорость сходимости к пределу, существование которого утверждается в лемме Фекете, если присутствует какая-либо супераддитивность или субаддитивность.

Если $f$ — супераддитивная функция и 0 находится в её области определения, то $f(0)⩽0$ (следует из $f(x)⩽f(x+y)-f(y)$).

Примеры

Определитель супераддитивен для неотрицательной эрмитовой матрицы, то есть если $A,B\in {\text{Mat}}_n(ℂ)$ — неотрицательные эрмитовы матрицы, то $\det (A+B)⩾\det (A)+\det (B)$. Это следует из теоремы Минковского об определителе, которая в общем случае утверждает, что $\det (\cdot {)}^{1/n}$ является супераддитивной (то есть вогнутой) для неотрицательных эрмитовых матриц размера $n$: если $A,B\in {\text{Mat}}_n(ℂ)$ — неотрицательные эрмитовы матрицы, то $\det (A+B{)}^{1/n}⩾\det (A{)}^{1/n}+\det (B{)}^{1/n}$ .

Функция взаимной информации супеаддитивна.

В 2009 году доказано, что Шаблон:Iw $H(x)$ супераддитивна для всех действительных чисел $x,y⩾1,5031$.

Ссылки

• Шаблон:Cite book
• Эта статья включает в себя текст с сайта PlanetMath, который опубликован под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License.