Существенное многообразие

Существенные многообразия — особый тип замкнутых многообразий. Понятие было введено Громовым в исследовании систолического неравенства.

Определение

$n$-мерное замкнутое многообразие $M$ называется существенным, если существует асферическое топологическое пространство $K$ и непрерывное отображение $M\to K$ которое переводит фундаментальный калсс $M$ в ненулевой класс гомологий $K$.

Иначе говоря, фундаментальный класс $[M]$ определяет ненулевой элемент в гомологиях его фундаментальной группы ${\pi }_1(M)$. Точнее, если $N$ есть пространство Эйленберга — Маклейна типа $K({\pi }_1(M),1)$, то отображение $M\to N$ индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп даёт нетривиальный гомоморфизм

$H_n(M)\to H_n(N).$

Здесь фундаментальный класс берётся в гомологиях с целыми коэффициентами, если многообразие ориентируемо, и коэффициентами по модулю 2 в противном  случае.

Примеры

Все замкнутые поверхности (то есть 2-мерные многообразия) являются существенными, за исключением 2-сферы S².

Вещественное проективное пространство $ℝ{\mathrm{P}}^n$ является существенным, поскольку включение $ℝ{\mathrm{P}}^n\to ℝ{\mathrm{P}}^{\mathrm{\infty }}$ является инъективным в гомологиях и $ℝ{\mathrm{P}}^{\mathrm{\infty }}=K({\mathbb{Z}}_2,1)$ является пространством Эйленберга — Маклейна типа $K(\pi ,1)$ конечной циклической группы порядка 2.

Все компактные асферические многообразия являются существенными (поскольку асферичность подразумевает, что многообразие само уже является пространством Эйленберга — Маклейна. В частности, все компактные Шаблон:Нп5 являются существенными.

Все линзовые пространства являются существенными.

Свойства

• Связная сумма существенного многообразия с любым замкнутым многообразием существенна.
• Прямое произведение существенных многообразий существенно.
• Любое многообразие, допускающее отображение ненулевой степени в существенное, также является существенным.
• Для существенных многообразий выполняется систолическое неравенство.
  • Это свойство является первопричиной введения этого определения.