Теорема Гильберта — Шмидта

Теоре́ма Ги́льберта — Шми́дта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.

Формулировка теоремы

Для любого вполне непрерывного симметричного оператора $A$ в гильбертовом пространстве $H$ существует ортонормированная система $\{x_i\}$ собственных элементов, соответствующих собственным значениям $\{{\lambda }_n\}$ оператора $A$, такая, что для любого $x\in H$ имеет место представление

$x=\sum _k{\xi }_k{x}_k+x_0,x_0\in \mathrm{Ker}A,Ax=\sum _k{\lambda }_k{\xi }_k{x}_k,$

причем суммирование может быть как конечным, так и бесконечным рядом в зависимости от числа собственных элементов оператора $A$. Если их бесконечное число, то $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\lambda }_n=0$.

Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных операторов

Теорема Гильберта-Шмидта может быть использована для решения неоднородного интегрального уравнения с непрерывным (а также слабо полярным) эрмитовым ядром.

Для интегрального оператора $(Kg)(x)=\underset{G}{\int }K(x,y)g(y)dy$, теорема переформулируется так: если функция $f(x)$ истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро $K(x,y)$ (т.е. $\mathrm{\exists }g(x)\in L^2(G)$, такая, что $f(x)=(Kg)(x)$), то её ряд Фурье по собственным функциям ядра $K(x,y)$ сходится абсолютно и равномерно на $G$ к этой функции:

$f(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(f,{\phi }_k){\phi }_k(x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(g,{\phi }_k)}{{\lambda }_k}{\phi }_k(x),$

где ${\phi }_k$ и есть собственные функции ядра, соответствующие собственным значениям ${\lambda }_k$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

Оператор Гильберта — Шмидта Шаблон:Вклад Давида Гильберта в науку