Оператор Гильберта — Шмидта

Оператор Гильберта — Шмидта — класс компактных операторов в гильбертовом пространстве

Определение

Пусть $T:H\to K$ - компактный оператор между гильбертовыми пространствами.
Для $T$ можно выбрать ортонормированные системы $\{e_1^{\text{'}},e_2^{\text{'}},\mathrm{...}\}\subset H$, $\{e_1^{{\text{'}}^{\prime }},e_2^{{\text{'}}^{\prime }},\mathrm{...}\}\subset K$ и последовательность неотрицательных чисел $\{s_n\}$ так, что $Tx=\sum _n{s}_n(x,e_n^{\text{'}})e_n^{{\text{'}}^{\prime }}$.
$T$ называют оператором Гильберта — Шмидта, если для его $s$-чисел выполнено неравенство: $\sum _n{s}_n^2<\mathrm{\infty }$.
Класс операторов Гильберта — Шмидта обозначают: ${𝐒}_2(H,K)$

Свойства

• Класс ${𝐒}_2(H,K)$ представляет собой банахово пространство относительно нормы $||T|{|}_{HS}=\sqrt{\sum _n{s}_n^2}$
• Совокупность операторов конечного ранга плотна в ${𝐒}_2(H,K)$
• Пространство ${𝐒}_2(H,K)$ - сепарабельно, если $H,K$ - сепарабельны
• Если $T_1,T_2\in {𝐒}_2(H)$, то $T=T_1{T}_2$ - ядерный оператор и
  $||T|{|}_{𝒩}\le ||T_1|{|}_{HS}||T_2|{|}_{HS}$
• В конечномерном пространстве норма Гильберта — Шмидта совпадает с нормой Фробениуса
• Композиция оператора Гильберта — Шмидта с любым ограниченным оператором является оператор Гильберта — Шмидта
• $T$ - оператор Гильберта — Шмидта, если найдутся такие ортонормированные базисы $\{e_n{\}}_{n\in I}$ и $\{f_m{\}}_{m\in J}$ в пространстве $H$ и $K$ соответственно, что $\sum _{n,m}|⟨T(e_n),f_m{⟩}_K{|}^2<+\mathrm{\infty }$. Величину $⟨T(e_n),f_m{⟩}_K$ называют матричным элементом оператора$T$. Их совокупность образует аналог матрицы линейного оператора. Таким образом, операторы Гильберта — Шмидта — операторы с квадратично суммируемой матрицей.

Скалярное произведение Гильберта — Шмидта

Класс ${𝐒}_2(H)$ можно естественным образом превратить в гильбертово пространство, если для операторов $T_1,T_2\in {𝐒}_2(H)$ ввести скалярное произведение:
$⟨T_1,T_2⟩=\mathrm{Tr}(T_1{T}_2^{\ast })=\mathrm{Tr}(T_2^{\ast }{T}_1)$, которое вдобавок согласуется с $||\cdot |{|}_2$.

Из этого следует ряд свойств:

• Класс ${𝐒}_2(H)$ - сепарабельное гильбертово пространство.
• Пусть $\{e_k^{\text{'}}\}$ и $\{e_l^{{\text{'}}^{\prime }}\}$ - какие-либо ортонормированные базисы в $H$. Тогда система одномерных операторов $T_{kl}=(\cdot ,e_k^{\text{'}})e_l^{{\text{'}}^{\prime }}$ образуют ортонормированный базис в гильбертовом пространстве ${𝐒}_2(H)$

Примеры

• Оператор в $L_2[a,b]$ является оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда он является интегральным оператором с квадратично интегрируемым ядром.
• Ядерный оператор является оператором Гильберта — Шмидта

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Компактный оператор
• Ядерный оператор