Ядерный оператор

Ядерный оператор — класс компактных операторов в банаховом пространстве

Ядерный оператор в Банаховом пространстве

Пусть $E,F$ - банаховы пространства. Непрерывный линейный оператор $u:E\to F$ называется ядерным, если найдется такое абсолютно суммируемое семейство $\{v_n{\}}_{n\in I}$ линейных непрерывных операторов из $E$ в $F$ с одномерным образом, что $u=\sum _{n\in I}{v}_n$. Множество всех ядерных операторов из $E$ в $F$ будем обозначать через $𝒩(E,F)$.

Простейшие свойства

• Множество $𝒩(E,F)$ образует подпространство в пространстве всех непрерывных линейных операторов из $E$ в $F$. Точная нижняя грань сумм $\sum _{n\in I}\Vert v_n\Vert$ по всевозможным представлениям оператора $u\in 𝒩(E,F)$ в виде $u=\sum _{n\in I}{v}_n$, где операторы $v_n$ имеют ранг $1$, является нормой на пространстве ядерных операторов.
• Пространство $𝒩(E,F)$ банахово. Если $E^{\prime },F$ сепарабельны, то $𝒩(E,F)$ тоже сепарабельно.

• Все конечномерные операторы ядерны, и их множество плотно в $𝒩(H,K)$. В свою очередь, ядерные операторы компактны.

• Ядерные операторы образуют операторный идеал. В частности, если $u:E\to F$ и $v:F\to G$ - непрерывные операторы в банаховых пространствах и хотя бы один из них ядерный, то их композиция $vu$ также ядерна.
• Сопряженный оператор к ядерному также ядерный.

Ядерный оператор в Гильбертовом пространстве

Пусть $T:H\to K$ - компактный оператор между гильбертовыми пространствами. . Для $T$ можно найти сингулярное разложение, т.е. ортонормированные системы $\{e_1^{\text{'}},e_2^{\text{'}},...\}\subset H$, $\{e_1^{{\text{'}}^{\prime }},e_2^{{\text{'}}^{\prime }},...\}\subset K$ и последовательность неотрицательных чисел $\{s_n\}$ так, что $Tx=\sum _n{s}_n(x,e_n^{\text{'}})e_n^{{\text{'}}^{\prime }}$.
$T$ является ядерным тогда и только тогда, когда для его $s$-чисел выполнено неравенство: $\sum _n{s}_n<\mathrm{\infty }$
В Гильбертовом пространстве ядерная норма приобретает вид: $||T|{|}_{𝒩}=\sum _n{s}_n$.

След ядерного оператора

Если $H$ - гильбертово пространство, то для $T\in 𝒩(H)=𝒩(H,H)$ можно ввести понятие, естественно обобщающее понятие матричного следа оператора в конечномерном пространстве:

$\mathrm{Tr}T=\sum _n(T{e}_n,e_n)$,
где $\{e_n\in H{\}}_{n\in I}$ - ортонормированный базис в $H$. От выбора базиса число $\mathrm{Tr}T$ не зависит.

Свойства следа

• $\mathrm{Tr}T$ - линейный непрерывный функционал в банаховом пространстве $𝒩(H)$, его норма равна $1$.
• $|\mathrm{Tr}T|\le ||T|{|}_{𝒩}$, равенство достигается при $T\ge 0$
• $\mathrm{Tr}{T}^{*}=\overline{\mathrm{Tr}T}$.
• $\mathrm{Tr}TR=\mathrm{Tr}RT$, если $T,R$ - линейные непрерывные операторы и $TR,RT\in 𝒩(H)$.
• Всякий линейный непрерывный функционал в $𝒩(H,H)$ представим единственным образом в виде: $l(T)=\mathrm{Tr}TQ$, где $Q$ - линейные непрерывные операторы.

Примеры

• Предположим $f:H_1\to H_2$ и $g:H_2\to H_3$ являются операторами Гильберта — Шмидта между Гильбертовыми пространствами. Тогда оператор $g\circ f:H_1\to H_3$ ядерный оператор.
• Оператор обратный к оператору Штурма-Лиувилля на отрезке - ядерный.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Компактный оператор
• Оператор Гильберта — Шмидта