Теорема Ньютона — Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Формула Ньютона — Лейбница, или основная формула анализа, или формула БарроуШаблон:Sfn даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Формулировка

Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид. Шаблон:Рамка Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и $\mathrm{\Phi }(x)$ — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\mathrm{\Phi }(b)-\mathrm{\Phi }(a)=\mathrm{\Phi }(x){|}_a^b$

Однако на самом деле требование непрерывности подынтегральной функции избыточно. Для выполнения этой формулы достаточно лишь существование левой и правой частей. Шаблон:Рамка Если функция $f(x)$ интегрируема и имеет первообразную на отрезке $[a,b]$, $\mathrm{\Phi }(x)$ — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\mathrm{\Phi }(b)-\mathrm{\Phi }(a)=\mathrm{\Phi }(x){|}_a^b$

Шаблон:Конец рамки Непрерывность является удобным условием на практике, поскольку сразу же гарантирует и интегрируемость, и существование первообразной. В случае её отсутствия же для правильного применения требуется проверка обоих этих свойств, что иногда бывает сложным. Существуют интегрируемые функции, не имеющие первообразной (любая функция с конечным числом точек разрыва или функция Римана), и неинтегрируемые, имеющие первообразную (производная $x^2\sin \frac{1}{x^2}$, дополненная нулём в нуле, на любом отрезке, содержащем 0, или Шаблон:Iw).

Формула может быть обобщена для случая функций с конечным числом разрывов. Для этого нужно обобщить понятие первообразной. Пусть функция $f$ определена на отрезке $[a;b]$ за исключением, возможно, конечного числа точек. Функция $F$ называется обобщённой первообразной $f$, если она:

• Непрерывна на отрезке $[a;b]$
• Во всех точках $[a;b]$, за исключением, возможно, конечного их числа, дифференцируема
• Во всех точках, где она дифференцируема, за исключением, возможно, конечного их числа, её производная равна $f$.

Это определение не требует, чтобы производная $F$ равнялась $f$ во всех точках, где $F$ дифференцируема. С этим понятием можно обобщить формулу Ньютона — Лейбница ещё сильнее.

Шаблон:Рамка Пусть $f$ определена на $[a;b]$ везде, за исключением, возможно, конечного числа точек. Если функция $f(x)$ интегрируема и имеет обобщённую первообразную на отрезке $[a,b]$, $F(x)$ — любая её обобщённая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b$

Замечание. Бездумное применение формулы к функциям, не являющимся непрерывными, может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}{|}_{-1}^1=-1-1=-2,$ хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен.

Причина ошибки: функции $-\frac{1}{x}$ не является первообразной (даже обобщённой) для функции $\frac{1}{x^2}$ на отрезке $[-1;1]$ просто потому, что она не определена в нуле. Функция не имеет на этом отрезке первообразной вообще. Более того, эта функция ещё и не ограничена в окрестности нуля, и следовательно, не интегрируема по Риману.

История

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.

Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.

Значение

Основная теорема анализа устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислениями. Понятие первообразной (а значит, и понятие неопределённого интеграла) определяется через понятие производной и, таким образом, относится к дифференциальному исчислению. С другой стороны, понятие определённого интеграла Римана формализуется как предел, к которому сходится так называемая интегральная сумма. Оно не зависит от понятия производной и относится к другой ветви анализа — интегральному исчислению. Формула Ньютона — Лейбница же позволяет выразить определённый интеграл через первообразную.

Интеграл Лебега

Функция $F(x):=C+\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$ представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции $f(x)$. Функция $F(x)$ является абсолютно непрерывнойШаблон:Sfn.

Теорема (Лебега): $f(x)$ абсолютно непрерывна на отрезке $[a,b]$ тогда и только тогда, когда существует суммируемая на $[a,b]$ функция $g$ такая, что $f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt$ при любом значении x от a до bШаблон:Sfn.

Из этой теоремы вытекает, что если функция $f$ абсолютно непрерывна на $[a,b]$, то её производная существует почти всюду, суммируема и удовлетворяет равенствуШаблон:Sfn:

$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}{f}^{\prime }(t)dt$, где $x\in [a,b]$.

Некоторые следствия

В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу интегрирования по частямШаблон:Sfn, формулу замены переменныхШаблон:Sfn, а также теорему о разложении монотонных функций по ЛебегуШаблон:Sfn.

Формула интегрирования по частям

Пусть $f$ и $g$ — абсолютно непрерывные функции на отрезке $[a,b]$. ТогдаШаблон:Sfn:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g^{\prime }(x)dx$.

Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила ЛейбницаШаблон:Sfn.

Формула замены переменных

Теорема. О замене переменной в определенном интегралеШаблон:Sfn. Рассмотрим монотонную абсолютно непрерывную функцию $\phi$ на отрезке $[c,d]$, причём $\phi ([c.d])\subset [a,b]$. Если $f$ — любая функции, интегрируемая по Лебегу на отрезке $[a,b]$, то новая функция $f(\phi ){\phi }^{\prime }$ интегрируема на $[c,d]$ и, кроме того, справедлива следующая формулаШаблон:Sfn:

$\underset{\phi (c)}{\overset{\phi (d)}{\int }}f(x)dx=\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(\phi (y)){\phi }^{\prime }(y)dy.$

Эта теорема справедлива и для следующих промежутковШаблон:Sfn:

$(-\mathrm{\infty },d],$ $[c,+\mathrm{\infty }),$ $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }).$

Разложение Лебега

Теорема. Рассмотрим неубывающую непрерывную слева функцию $F$ на отрезке $[a,b]$. Такую функцию можно разложить следующим образомШаблон:Sfn:

• $F=F_{ac}+F_{sing}$, где:

• $F_{ac}$ — абсолютно непрерывная неубывающая функция;
• $F_{sing}$ — неубывающая непрерывная слева функция, причём почти всюду $F{\text{'}}_{sing}(t)=0$;

• $F_{sing}=F_a+F_c$, где:

• $F_c$ — непрерывная неубывающая функция;Шаблон:Якорь
• $F_a$ — непрерывная слева неубывающая функция скачков, то есть

$F_a(t)=\sum _{n:t_n<n}{h}_n$, причём

$\{t_n\}\subset (a,b),$ $h_n>0,$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{h}_n<\mathrm{\infty }.$

Вариации и обобщения

• Теорема Стокса
• Дискретная теорема Грина

См. также

• Основная теорема алгебры
• Основная теорема арифметики

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H

Литература

• Шаблон:Книга
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Шаблон:Книга