Теория БКШ

Теория Бардина — Купера — Шриффера (теория БКШ) — микроскопическая теория сверхпроводников, являющаяся на сегодняшний день доминирующей. В её основе лежит концепция куперовской пары: коррелированного состояния электронов с противоположными спинами и импульсами. В 1972 году создатели теории были удостоены Нобелевской премии по физике. Одновременно микроскопическая теория сверхпроводимости была построена с использованием так называемых преобразований Боголюбова Н. Н. Боголюбовым, показавшим, что сверхпроводимость можно рассматривать как сверхтекучесть электронного газа.

Электроны вблизи поверхности Ферми могут испытывать эффективное притяжение, взаимодействуя друг с другом посредством фононов. Надо ввести уточнение, притягиваются только те электроны, энергия которых отличается от энергии электронов на поверхности Ферми не более чем на величину $h{\nu }_D$, где ${\nu }_D$ — Шаблон:Нп3, остальные электроны не взаимодействуют. Эти электроны объединяются в пары, называемые часто куперовскими. Куперовские пары, в отличие от отдельных электронов, обладают рядом свойств, характерных для бозонов, которые при охлаждении могут переходить в одно квантовое состояние. Можно сказать, что эта особенность позволяет парам двигаться без столкновения с решёткой и оставшимися электронами, то есть без потерь энергии.

Куперовские пары

Шаблон:Main Леон Купер рассмотрел образование связного состояния двух электронов имеющих противоположные спины и скорости и предположил, что эти пары могут быть ответственны за сверхпроводящее состояние. Он указал на возможность образования связного состояния двух электронов на уровне Ферми при обмене фононами, которое качественно можно рассмотреть в виде динамического взаимодействия электронов проводимости с колебаниями ионной кристаллической решёткой. Когда электрон пролетает рядом с ионами, он притягивает ионы и создаёт за собой положительную плотность заряда, которая притягивает другой электрон противоположный по спину и скорости (в этом случае взаимодействие максимально).

Купер рассмотрел двухчастичную задачу в системе центра масс сводя её к одночастичной задаче в периодическом поле кристалла с уравнением и переходя от переменных для координат электронов ${𝐫}_1$ и ${𝐫}_2$ к координатам для центра масс и расстояния между частицами $𝐑=({𝐫}_1+{𝐫}_2)/2$ и $𝐫={𝐫}_2-{𝐫}_1$ (для волновых векторов от ${𝐤}_1$ и ${𝐤}_2$ к $𝐊={𝐤}_1+{𝐤}_2$ и $𝐤=({𝐤}_2-{𝐤}_1)/2$), а также энергии ${ℰ}_K+{\epsilon }_k=({\hslash }^2/m^2)(K^2+k^2)$

$({ℰ}_K+{\epsilon }_k-E)a_k+\sum _{k^{\prime }}{a}_{k^{\prime }}⟨k|H_1|k^{\prime }⟩\delta (K-K^{\prime })/\delta (0)=0$

для волновой функции

$\mathrm{\Psi }(𝐑,𝐫)=\frac{1}{\sqrt{V}}{e}^{i𝐊\cdot 𝐑}\chi (𝐫,𝐊)=\frac{1}{\sqrt{V}}{e}^{i𝐊\cdot 𝐑}\sum _{𝐤}\frac{a_{𝐤}}{\sqrt{V}}{e}^{i𝐤\cdot 𝐫}.$

Предполагая матричные элементы постоянными для волновых векторов вблизи уровня Ферми и нулевыми в области отличной от уровня Ферми более чем на Дебаевскую энергию можно получить уравнение для собственных значений

$1=-|F|\underset{{ϵ}_0}{\overset{{ϵ}_m}{\int }}\frac{N(K,ϵ)dϵ}{E-ϵ-{ℰ}_K},$

где $N(K,ϵ)$ — плотность состояний куперовских пар с моментом K, которая предполагается постоянной. Выражение для энергии связи куперовской пары выражается через энергию ДебаяШаблон:Sfn

$\mathrm{\Delta }=2\hslash {\mathrm{\Omega }}_D(e^{1/(N(K,{ϵ}_0)|F|)}-1).$