Уравнение Ландау — Лифшица (магнетизм)

Шаблон:Значения Шаблон:Электродинамика Уравне́ние Ланда́у — Ли́фшица — уравнение, описывающее движение намагниченности в приближении континуальной модели в твердых телах. Впервые введено Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем в 1935 году.

Формулировка

Для бездиссипативной среды и в отсутствие спин-поляризированного тока уравнение Ландау — Лифшица обычно записывается в виде

$\frac{\partial 𝐌}{\partial t}=-|\gamma |[𝐌\times {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}],(1)$

где $𝐌\equiv 𝐌(𝐫,t)$ — плотность магнитного момента (намагниченность), $\gamma$ — некоторая феноменологическая постоянная, ${𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}\equiv {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(𝐫,t)$ — так называемое эффективное магнитное поле.

Уравнение в основном используется для ферро- и ферримагнетиков. В общем случае постоянная $\gamma$ не совпадает с гиромагнитным отношением и в рамках феноменологической теории должна рассматриваться как величина, определяемая из эксперимента. Их отличие обусловлено вкладом орбитальных моментов. Поэтому при условии, что магнитные ионы находятся в $S$-состоянии (то есть орбитальные моменты отсутствуют), $\gamma$ можно считать равным гиромагнитному отношению с большой степенью точности. Это выполняется для CdCr₂Se₄, железо-иттриевого граната Y₃Fe₅O₁₂, пермаллоя Fe_20+xNi_80-x и большинстваШаблон:УточнитьШаблон:Нет АИ других ферро- и ферримагнитных материалов.

Эффективное магнитное поле определяется как вариационная производная свободной энергии по магнитному моменту

${𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(𝐫,t)=-\frac{\delta F}{\delta 𝐌}.(2)$

В случае, когда рассматривается магнетик вдали от температуры Кюри или при нулевой температуре, то свободная энергия $F$ равна внутренней $E$.

В формулировке (1) сохраняется длина вектора намагниченности. Это легко показать, домножив обе части (1) скалярно на $𝐌$, что даст

$\frac{\partial {𝐌}^2}{\partial t}=0.(3)$

Этот факт дает основание говорить о прецессии намагниченности.

Строгий вывод уравнения движения намагниченности в континуальном приближении невозможен, поэтому часто постулируется возможность формального перехода от уравнения движения оператора спина ${𝐒}_n$

$i\hslash \frac{\partial {𝐒}_n}{\partial t}=[\mathscr{H},{𝐒}_n],(4)$

к уравнению (1) путём замены ${𝐒}_n\to -\frac{a^3}{2{\mu }_B}𝐌({𝐫}_n)$ и разложения поля намагниченности $𝐌({𝐫}_{n+n_0})$ вблизи точки ${𝐫}_n$ в ряд Тейлора. Тут $[\bullet ,\bullet ]$ — коммутатор, $\mathscr{H}$ — гамильтониан, ${𝐒}_n$ — оператор спина для n-го узла решетки, а ${𝐫}_n$ — его радиус-вектор, $a$ — постоянная решетки, ${\mu }_B$ — магнетон Бора.

Модификации

Учет диссипации, влияния температуры или спин-поляризированных токов требует модификации исходного уравнения (1), которая обычно сводится к появлению дополнительных слагаемых в правой части (1). Релаксационные члены могут иметь различную размерность и различное число параметров. Но для приближенного описания процессов в ферромагнетиках при небольшой диссипации может использоваться уравнение в любой из нижеприведенных форм. Каждое из них можно преобразовать одно к другому.

Релаксационный член в форме Ландау — Лифшица

Ландау и Лифшиц предложили следующую модификацию:

$\frac{\partial 𝐌}{\partial t}=-|\gamma |[𝐌\times {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]-\frac{|\gamma |\lambda }{M^2}[𝐌\times [𝐌\times {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]],(5)$

где $\lambda$ — параметр диссипации. Иногда за параметр диссипации принимают величину ${\lambda }_1=|\gamma |\lambda$.

Уравнение Ландау — Лифшица — Гильберта

Часто используется релаксационный член в форме Гильберта:

$\frac{\partial 𝐌}{\partial t}=-|\gamma |[𝐌\times {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]+\frac{\alpha }{M}[𝐌\times \frac{\partial 𝐌}{\partial t}],(6)$

где $\alpha$ — параметр диссипации. Формальный переход между уравнениями (5) и (6) можно совершить заменой

$\gamma \to \frac{\gamma }{1+{\alpha }^2},\lambda \to \frac{\alpha M}{1+{\alpha }^2}.(7)$

В связи с отрицательным значением гиромагнитного отношения встречаются определения параметров релаксации с противоположными знаками в (5) и (6).

Уравнение Блоха — Бломергена

Примером уравнения с диссипацией, допускающего изменение длины вектора намагниченности может служить модифицированное уравнение Блоха или уравнение Блоха — Бломергена:

$\frac{\partial 𝐌}{\partial t}=-|\gamma |[𝐌\times {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]-{\omega }_r(𝐌-{\chi }_0{𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}),(8)$

где ${\chi }_0$ — так называемая статическая восприимчивость, определяемая как отношение намагниченности насыщения к абсолютной величине эффективного поля, а ${\omega }_r$ — частота релаксации.

Влияние спин-поляризированного тока

Спин-поляризированный ток обычно описывают дополнительным слагаемым в правой части (1) вида $|\gamma |𝐓$. Один из подходов к его конкретизации состоит в разложении вектора $|\gamma |𝐓$ по осям, направленным вдоль $𝐌$, $[𝐌\times {𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}]$ и $𝐌\times [𝐌\times {𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}]$. Тут ${𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$ — единичный вектор вдоль намагниченности опорного слоя. В предположении, что длина вектора намагниченности не меняется, первая проекция будет равна нулю, а две другие

${𝐓}_{\parallel }=-\frac{|\gamma |a_J}{M_s}𝐌\times [𝐌\times {𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}],{𝐓}_{\perp }=|\gamma |b_J[𝐌\times {𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}],(9)$

где коэффциценты $a_J$ и $b_J$ пропорциональны плотности тока, зависящие от параметров поляризирующей структуры и угла между $𝐌$ и ${𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$.

Другие формы записи

Для аналитического анализа, чаще всего уравнение Ландау — Лифшица записывается в угловых переменных сферической системы координат $\theta$ и $\varphi$. В таком случае вектор намагничености можно представить как

$M_x+i{M}_y=M_s\sin \theta e^{i\varphi },M_z=M_s\cos \theta ,$

где $M_s$ — намагниченность насыщения. Чтобы перейти в (6) к угловым переменным, домножим уравнение на вариацию намагниченности $\delta 𝐌$, выразив в угловых переменных проекцию левой части на ось аппликат. Далее, записав вариации энергии и намагниченности через вариации углов получим

$\sin \theta \frac{\partial \theta }{\partial t}=-\frac{|\gamma |}{M_s}\frac{\delta E}{\delta \varphi },\sin \theta \frac{\partial \varphi }{\partial t}=\frac{|\gamma |}{M_s}\frac{\delta E}{\delta \theta }.(10)$

Получение уравнений в угловых переменных, содержащих дополнительные члены, проделывается аналогично. Так, для записи в форме Ландау — Лифшица — Гильберта имеем

$\sin \theta \frac{\partial \theta }{\partial t}=-\frac{|\gamma |}{M_s}\frac{\delta E}{\delta \varphi }-\alpha {\sin }^2\theta \frac{\partial \varphi }{\partial t},\sin \theta \frac{\partial \varphi }{\partial t}=\frac{|\gamma |}{M_s}\frac{\delta E}{\delta \theta }+\alpha \frac{\partial \theta }{\partial t}.(11)$

См. также

• Ландау, Лев Давидович
• Лифшиц, Евгений Михайлович
• Ферромагнетики
• Ферримагнетики

Литература

• Шаблон:Статья
• Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
• Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с.,  ISBN 5-02-014366-9.
• Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
• Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436–442, (2008) https://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
• Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
• Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. https://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
• Шаблон:Книга

Ссылки

• OOMMF — The Object-Oriented Micromagnetic Framework — свободно распространяемый программный пакет для микромагнитного моделирования, написанный на C++ и Tcl/Tk.
• Ферромагнитные домены