Функционал Минковского

Функционал Минковского — функционал, использующий линейную структуру пространства для введения топологии на нём. Назван по имени немецкого математика Германа Минковского.

Определение

Для любого векторного пространства $X$ (вещественного или комплексного) и его подмножества $K$ функционал Минковского ${\mu }_K:X\to [0,\mathrm{\infty })$ определяется как:

${\mu }_K(x)=inf\{r>0:x\in rK\}$.

Предполагается, что $0\in K$ и множество $\{r>0\mid x\in rK\}$ непусто. При дополнительных условиях на $K$ функционал будет обладать свойствами полунормы, а именно:

• из выпуклости и симметричности $K$ следует субаддитивность ${\mu }_K$, то есть ${\mu }_K(\alpha x+\beta y)\le \alpha {\mu }_K(x)+\beta {\mu }_K(y)$;
• однородность — ${\mu }_K(\alpha x)=|\alpha |{\mu }_K(x)$ для всех $\alpha$ достигается, если $K$ — сбалансированное множество, то есть $\alpha K\subset K$ для всех $|\alpha |⩽1$.

Свойства

Функционал Минковского можно использовать для задания топологии в пространстве, так как для выпуклых замкнутых множеств $K$, содержащих 0, он обладает свойствами полунормы. Он также позволяет установить соответствие (одно из проявлений двойственности Минковского) между множествами в $X$ и $X^{\ast }$, так как обладает свойствами опорной функции в сопряжённом пространстве. Пусть $X$ — конечномерное евклидово пространство. Для любого множества $K\subseteq X$ сопряжённое множество $K^{\ast }\subseteq X^{\ast }$ вводится как множество, опорная функция $s(p,K^{\ast })$ которого на векторах $p\in X$ совпадает с $p_K$:

$\mathrm{\forall }p\in Xs(p,K^{\ast })={\mu }_K(p)$.

При этом для любого выпуклого замкнутого сбалансированного $K$ выполнено:

$K^{\ast \ast }=K$

Это определение также можно распространить на бесконечномерные рефлексивные пространства. При этом, однако, возникает некоторая сложность, так как пространство $X^{\ast \ast }$ содержит элементы, не лежащие в $X$. Можно доопределить опорную функцию на $K^{\ast }$, положив её для таких векторов равной 0. Тогда при естественном вложении $X\hookrightarrow X^{\ast \ast }$ образ $K$ совпадает с $K^{\ast \ast }$ (при выпуклости и сбалансированности).

См. также

Другие проявления двойственности Минковского:

• Преобразование Лежандра
• Опорный принцип

Литература

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.