Функция Мангольдта

Функция Мангольдта — арифметическая функция $\mathrm{\Lambda }(n)$, равная $\ln p$, если $n=p^m$ — степень простого числа, в противном случае $\mathrm{\Lambda }(n)=0$. Кратко:

$\mathrm{\Lambda }(n)=\{\begin{array}{cc}\ln p,& n=p^m\\ 0,& n\ne p^m\end{array}$

Функция Мангольдта предложена X. Мангольдтом в 1894-м году. Используется для доказательства закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях.

Свойства

• Из определения следует, что

$\sum _{d\mid n}\mathrm{\Lambda }(d)=\ln n$

• С помощью формулы обращения Мёбиуса из предыдущей формулы получаем

$\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\ln \frac{n}{d}=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\ln d$

Связь с распределением простых чисел

• Связь с дзета-функцией Римана :$\ln \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s\ln n},\mathrm{Re}s>1$
• $-\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s},\mathrm{Re}s>1$
• Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле:

$\ln L(s,\chi )=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s\ln n},\mathrm{Re}s>1$

$-\frac{L^{\prime }(s,\chi )}{L(s,\chi )}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)\mathrm{\Lambda }(n)}{n^s},\mathrm{Re}s>1$

• $\sum _{n⩽x}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n}\sim \ln x$
• $\sum _{n⩽x}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{n\ln n}=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c\sqrt{\ln x}}),$ где $\gamma$ — постоянная Эйлера
• Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта

$\psi (x)=\sum _{n⩽x}\mathrm{\Lambda }(n)$

• Формула Перрона, примененная к предыдущему соотношению, даёт

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-s\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\psi (x)}{x^{1+s}}dx,\mathrm{Re}s>1$

Литература

• Шаблон:Книга