Отражающая подкатегория

В математике, подкатегория A категории B называется отражающей, если функтор вложения A в B имеет левый сопряженный. Этот сопряженный функтор часто называют отражателем. Двойственное определение — A ко-отражающая , если функтор вложения имеет правый сопряженный.

Явное определение

Подкатегория A категории B называется отражающей в B, если для каждого объекта B категории B существует объект $A_B$ категории A и B-морфизм $r_B:B\to A_B$, такой что для любого B-морфизма $f:B\to A$ существует единственный A-морфизм $\bar{f}:A_B\to A$, такой что $\bar{f}\circ r_B=f$:

Пара $(A_B,r_B)$ называется A-отражателем B. Морфизм $r_B$ называется A-отражающей стрелкой.

Примеры

Алгебра

• Категория абелевых групп Ab — отражающая подкатегория категории групп Grp. Отражатель — функтор, отправляющий каждую группу в её абелианизацию. В свою очередь, категория групп — отражающая подкатегория категории полугрупп с делением.
• Категория полей — отражающая подкатегория категории целостных колец (с инъективными гомоморфизмами колец). Отражатель — функтор, отправляющий кольцо в его поле частных.
• Категория абелевых групп кручения — ко-отражающая подкатегория категории абелевых групп. Отражатель отправляет абелеву группу в её подгруппу кручения.
• Категория векторных пространств над данным полем k — это отражающая подкатегория категории множеств. Отражатель — функтор, отправляющий множество B в свободное векторное пространство, порожденное элементами B над k.

Топология

• Колмогоровские пространства (T₀-пространства) — отражающая подкатегория Top, категории топологических пространств, и колмогоровский фактор является отражателем.
• Категория компактных хаусдорфовых — отражающая подкатегория топологических пространств с аксиомой Тихонова. Отражатель — Компактификация Стоуна — Чеха.
• Категория полных метрических пространствs c равномерно непрерывными отображениями — отражающая полная подкатегория категории метрических пространств. Отражатель — пополнение метрического пространства.

Функциональный анализ

• Категория банаховых пространств — отражающая полная подкатегория категории нормированных пространств и ограниченных линейных операторов. Отражатель — пополнение по норме.

Примечания

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга