Абелианизация

Абелианиза́ция — способ превратить произвольную группу в абелеву. Является полезным инструментом в теории групп, который находит применение в алгебраической топологии.

C помощью абелианизации возможно описать аддитивные инварианты группы, то есть гомоморфизмы из данной группы в некоторую абелеву. Также она зачастую позволяет свести задачу проверки неизоморфности групп, заданных образующими и соотношениями, к более простой аналогичной задаче для абелевых, особенно в случае конечно-порождённых.

Введение

Превращение группы в коммутативную подразумевает отождествление элементов $xy$ и $yx$ для всех $x,y\in G$. В частности, такая процедура приравняет каждый коммутатор $[x,y]:=xy{x}^{-1}{y}^{-1}$ к нейтральному элементу группы.

Верно и обратное: если каждый коммутатор эквивалентен единице группы, из формулы $xy=[x,y]yx$ следует, что любые два её элемента коммутируют. Таким образом, отождествления каждого коммутатора с единицей необходимо и достаточно для превращения произвольной группы в коммутативную. На языке теории групп оно называется факторизацией по коммутанту — подгруппе, порождённой всеми коммутаторами.

Абелианизацией группы $G$ называется её факторгруппа по коммутанту:

$G^{ab}:=G/[G,G]$.

Также для абелианизации используются обозначения $G_{ab}$ и $\mathrm{A}\mathrm{b}(G)$.

Связанные определения

Естественная проекция $G\to G^{ab}$ называется гомоморфизмом абелианизации и обозначается символом $\mathrm{a}\mathrm{b}$. Её ядро совпадает с коммутантом группы $G$.

Группа называется каиновой, если её абелианизация тривиальна.

Свойства

Абелианизация любой группы является абелевой группой. Любая абелева группа изоморфна своей абелианизации.

Абелианизация группы является её наибольшим абелевым фактором в том смысле, что факторгруппа по некоторой нормальной подгруппе абелева тогда и только тогда, когда эта подгруппа содержит коммутант группы.

Сопоставление $G\to G^{ab}$ продолжается до функтора из категории групп в категорию абелевых групп. А именно, каждому гомоморфизму $f:G\to H$ сопоставляется гомоморфизм $f^{ab}:G^{ab}\to H^{ab}$, определяющийся формулой $f^{ab}([x]):=[f(x)]$, где $[a]$ обозначает смежный класс элемента $a$.

Абелианизация группы, имеющей задание образующими и соотношениями $G\cong ⟨S\mid R⟩$, допускает задание

$G^{ab}\cong ⟨S\mid R\cup \{[s,t]:s,t\in S\}⟩$.

Универсальное свойство

Абелианизация и гомоморфизм абелианизации удовлетворяют следующему так называемому универсальному свойству. Для любого гомоморфизма $f:G\to A$ в любую абелеву группу $A$ существует такой единственный гомоморфизм $F:G^{ab}\to A$, что $f=F\circ \mathrm{a}\mathrm{b}$. Универсальность состоит в том, что, как легко проверяется, любая другая группа, удовлетворяющая данному свойству, изоморфна группе $G^{ab}$.

Данное свойство позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между всеми гомоморфизмами из группы $G$ в некоторую абелеву группу $A$ и всеми гомоморфизмами из абелианизации $G^{ab}$ в $A$. При таком соответствии каждому гомоморфизму $g:G^{ab}\to A$ сопоставляется композиция $g\circ \mathrm{a}\mathrm{b}:G\to A$. Условие биективности данного соответствия эквивалентно универсальному свойству абелианизации.

Указанное соответствие осуществляет изоморфизм групп гомоморфизмов:

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G,A)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(G^{ab},A)$.

С точки зрения теории категорий данный изоморфизм означает, что функтор абелианизации является левым сопряжённым к забывающему функтору из категории абелевых групп в категорию всех групп.

Гомологии

Абелианизация является полезным инструментом в алгебраической топологии. Так, абелианизация фундаментальной группы любого линейно связного топологического пространства изоморфна его первой группе гомологий с целыми коэффициентамиШаблон:Sfn:

${\pi }_1(X{)}^{ab}\cong H_1(X,\mathbb{Z})$.

В частности, данный изоморфизм применим при вычислении гомологий групп. А именно, первая группа гомологий с целыми коэффициентами группы $G$ изоморфна её абелианизации: $H_1(G,\mathbb{Z})\cong G^{ab}$.

Данные соотношения являются основой для аналогии, гласящей, что теория гомологий является абелианизацией теории гомотопий. Точный смысл данному утверждению можно придать с помощью теоремы Гуревича и Шаблон:Нп5.

Примеры

Абелианизация свободной группы $F_n$ ранга $n$ изоморфна свободной абелевой группе ${\mathbb{Z}}^n$ того же ранга. Гомоморфизм абелианизации $F_n\to {\mathbb{Z}}^n$ сопоставляет каждому элементу упорядоченный набор из его экспоненциальных сумм по базисным образующим, то есть набор сумм степеней соответствующих символов в его записи. Таким образом, коммутант свободной группы состоит из тех элементов, у которых экспоненциальная сумма по каждой образующей равна нулю.

Абелианизация полной линейной группы ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℝ)$ изоморфна мультипликативной группе ${ℝ}^{\ast }$ поля $ℝ$ вещественных чисел. Гомоморфизм абелианизации ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℝ)\to {ℝ}^{\ast }$ совпадает с определителем. В частности, коммутант группы ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℝ)$ совпадает со специальной линейной группой ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(ℝ)$. Аналогичное верно для полных линейных групп над произвольным полем, за исключением случая ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$Шаблон:Sfn.

Абелианизация группы кос $B_n$ изоморфна бесконечной циклической группе $\mathbb{Z}$. Гомоморфизм абелианизации $B_n\to \mathbb{Z}$ сопоставляет косе её экспоненциальную сумму. В частности, коммутант группы кос состоит из тех кос, у которых экспоненциальная сумма равна нулю.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга