Пара топологических пространств

Пара топологических пространств — упорядоченная пара $(X,A)$ где $X$ — топологическое пространство, а $A$ — подпространство (с топологией подпространства).

Отображение пар $f:(X,A)\to (Y,B)$ определяется как отображение $f:X\to Y$ такое, что $f(A)\subset B$.

Понятие топологической пары удобно для определения относительных гомологий $H_k(X,Y)$, для которых как раз требуется, чтобы $Y$ вкладывалось в $X$. Для хороших пространств (например, если $Y$ — клеточный подкомплекс клеточного комплекса $X$Шаблон:Sfn) выполнено равенство $H_k(X,Y)\simeq \bar{H}(X/Y)=H(X/Y,\varnothing ).$

Свойства

• Существует функтор из пространств в пары, который отображает пространство $X$ в пару $(X,\varnothing )$ ,

Относительные гомологии

Шаблон:Main Если дана пара топологических пространств $(X,Y)$, то для любой теории гомологий можно рассмотреть группу относительных цепей $C_k(X)/C_k(Y)$. Тогда гомологии полученного цепного комплекса обозначают $H_k(X,Y)$ и называют гомологиями пары.

Понятие относительных гомологий позволяет построить так называемую длинную точную последовательность пары: $$\dots ⟵H_{k-1}(Y)\stackrel{{\partial }_{\ast }}{⟵}{H}_k(X,Y)⟵H_k(X)⟵H_k(Y)\stackrel{{\partial }_{\ast }}{⟵}{H}_{k+1}(X,Y)⟵\dots$$

Вариации и обобщения

Родственным понятием является понятие тройки $(X,A,B)$, где $B\subseteq A\subseteq X$. Тройки используются в теории гомотопий. Часто для пространств с отмеченной точкой $x_0$ тройку записывают как $(X,A,B,x_0)$, где $x_0\in B\subseteq A\subseteq X$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга