Электрическая ёмкость

Шаблон:Электродинамика Шаблон:Физическая величина Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника, мера его способности аккумулировать электрический заряд. В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы (конденсатора), представленного в виде двухполюсника.

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах, общепринятое обозначение ёмкости: $C$.

Ёмкость рассчитывается как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между проводником и бесконечностью или между проводниками

$C=\frac{Q}{\phi -{\phi }_{ref}}$,

где $Q$ — заряд, $\phi$ — потенциал проводника, ${\phi }_{ref}$ — потенциал другого проводника или потенциал на бесконечности (как правило, принимаемый за нуль).

Ёмкость зависит от геометрии и формы проводников и электрических свойств окружающей среды (её диэлектрической проницаемости).

Определение. Некоторые формулы

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

$C=\frac{Q}{\phi }$,

где $Q$ — заряд, $\phi$ — потенциал проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса $R$ равна (в системе СИ):

$C=4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}R,$

где ${\epsilon }_0$ — электрическая постоянная (8,854Шаблон:E Ф/м), ${\epsilon }_r$ — относительная диэлектрическая проницаемость.

Шаблон:Hider

Для системы из двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом и обладающих равными по числу, но противоположными по знаку зарядами $\pm Q$, ёмкость (взаимная ёмкость) определяется как отношение величины заряда к разности потенциалов проводников. Если принять потенциал одного из проводников за нуль, формула $C=Q/\phi$ останется в силе и для этого случая.

Дискретный элемент электрической цепи на базе вышеописанной системы, обладающий значительной ёмкостью, называется конденсатором. Два проводника при этом именуются обкладками.

Для плоского конденсатора ёмкость равна:

$C={\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{S}{d}$,

где $S$ — площадь обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), $d$ — расстояние между обкладками.

Электрическая энергия, запасённая конденсатором, составляет

$W=\frac{C{U}^2}{2}$,

где $U$ — напряжение между обкладками.

Обозначение и единицы измерения

Ёмкость принято обозначать большой латинской буквой $C$ (от Шаблон:Lang-la — ёмкость, вместимость).

В системе единиц СИ ёмкость выражается в фарадах, сокращённо «Ф». Проводник обладает ёмкостью в один фарад, если при величине потенциала его поверхности один вольт этот проводник несёт заряд в один кулон. Один фарад — очень большая ёмкость, реальные проводники обладают ёмкостью порядка нано- или микрофарад. «Фарад» назван в честь английского физика Майкла Фарадея.

Единицей измерения ёмкости в системе СГС является сантиметр. Соотношение: 1 см ёмкости ≈ 1,1126 пФ; 1 Ф = 8,988×10¹¹ см ёмкости.

Свойства ёмкости

• Ёмкость всегда положительна, за исключением случаев некоторых структур с сегнетоэлектриками.
• Ёмкость зависит только от геометрических размеров проводника и диэлектрических свойств среды (для конденсатора — заполняющего его материала изолятора).
• Ёмкость опосредованно зависит от температуры и частоты сигнала (через зависимость проницаемости среды ${\epsilon }_r$ от соответствующих величин).
• В случае среды с постоянными значениями ${\epsilon }_r$ ёмкость является константой, но в случае нелинейной среды, когда ${\epsilon }_r$ зависит от напряжённости электрического поля, ёмкость будет изменяться с напряжением.
• Применительно к цепи синусоидального тока с частотой $\omega$, элементу «ёмкость» может быть приписано реактивное сопротивление $X_C={\omega }^{-1}{C}^{-1}$.
• Напряжение на ёмкости не может изменяться скачком.

Дифференциальная ёмкость

Дифференциальной (малосигнальной) ёмкостью называется производная от заряда проводника по потенциалу

$C_{diff}=\frac{dQ}{d\phi }\approx \frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }\phi }$,

которая определяется для выбранных условий $\phi ={\phi }_0$. Эта величина характеризует реакцию проводника на малое изменение потенциала. Если зависимость заряда от потенциала линейна, то $C_{diff}=C$, но на практике встречаются и более сложные случаи.

Широкое распространение получили измерения так называемых вольт-фарадных характеристик структур металл-диэлектрик-полупроводник — зависимостей $C_{diff}(\phi )$ при разных частотах $\omega$ изменения потенциала со временем $t$ по закону $\phi ={\phi }_0+\mathrm{\Delta }\phi \sin (\omega t)$. Такие измерения дают ценную информацию о качестве диэлектрика.

Электрическая ёмкость некоторых систем

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇²φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников. Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля.

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)

Вид	Ёмкость	Комментарий
Плоский конденсатор	$\frac{\epsilon S}{4\pi d}$	S: Площадь d: Расстояние
Два коаксиальных цилиндра	$\frac{\epsilon l}{\log (R_2/R_1)}$	l : Длина R1: Радиус R${}_2$: Радиус
Две параллельные проволоки	$\frac{\epsilon l}{4\mathrm{arcosh}\left(\frac{d}{2a}\right)}=\frac{\epsilon l}{2\log (\frac{d}{2a}+\sqrt{\frac{d^2}{4a^2}-1})}$	a: Радиус d: Расстояние, d > 2a
Проволока параллельна стене	$\frac{\epsilon l}{2\mathrm{arcosh}\left(\frac{d}{a}\right)}=\frac{\epsilon l}{4\log (\frac{d}{a}+\sqrt{\frac{d^2}{a^2}-1})}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a l: Длина
Две параллельные копланарные полосы	$\epsilon l\frac{K\left(\sqrt{1-k^2}\right)}{8\pi K\left(k\right)}$	d: Расстояние w1, w${}_2$: Ширина полос km: d/(2wm+d) k2: k1k2 K: Эллиптический интеграл l: Длина
Два концентрических шара	$\frac{\epsilon }{\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}}$	R1: Радиус R2: Радиус
Два шара одинакового радиуса	$\frac{\epsilon a}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sinh (\log (D+\sqrt{D^2-1}))}{\sinh (n\log (D+\sqrt{D^2-1}))}$ $\frac{\epsilon a}{2}\{1+\frac{1}{2D}+\frac{1}{4D^2}+\frac{1}{8D^3}+\frac{1}{8D^4}+\frac{3}{32D^5}+O\left(\frac{1}{D^6}\right)\}$ $=\frac{\epsilon a}{2}\{\log 2+\gamma -\frac{1}{2}\log (\frac{d}{a}-2)+O(\frac{d}{a}-2)\}$	a : Радиус d: Расстояние, d > 2a D = d/2a γ: Постоянная Эйлера
Шар вблизи стены	$\epsilon a\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sinh (\ln (2D+\sqrt{D^2-1}))}{\sinh (n\ln (2D+\sqrt{D^2-1}))}$	a: Радиус d: Расстояние, d > a D = d/a
Шар	$\epsilon a$	a: Радиус
Круглый диск	$\frac{2\epsilon a}{\pi }$	a : Радиус
Тонкая прямая проволока, ограниченная длина	$\frac{\epsilon l}{2\mathrm{\Lambda }}\{1+\frac{1}{\mathrm{\Lambda }}(1-\ln 2)+\frac{1}{{\mathrm{\Lambda }}^2}[1+{(1-\ln 2)}^2-\frac{{\pi }^2}{12}]+O\left(\frac{1}{{\mathrm{\Lambda }}^3}\right)\}$	a: Радиус проволоки l: Длина Λ: ln(l/a)

Эластанс

Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИШаблон:Sfn.

См. также

• Квантовая ёмкость

Литература

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга