Отражающая подкатегория
В математике, подкатегория A категории B называется отражающей, если функтор вложения A в B имеет левый сопряженный. Этот сопряженный функтор часто называют отражателем. Двойственное определение — A ко-отражающая , если функтор вложения имеет правый сопряженный.
Явное определение
Подкатегория A категории B называется отражающей в B, если для каждого объекта B категории B существует объект категории A и B-морфизм , такой что для любого B-морфизма существует единственный A-морфизм , такой что :
Пара называется A-отражателем B. Морфизм называется A-отражающей стрелкой.
Примеры
Алгебра
- Категория абелевых групп Ab — отражающая подкатегория категории групп Grp. Отражатель — функтор, отправляющий каждую группу в её абелианизацию. В свою очередь, категория групп — отражающая подкатегория категории полугрупп с делением.
- Категория полей — отражающая подкатегория категории целостных колец (с инъективными гомоморфизмами колец). Отражатель — функтор, отправляющий кольцо в его поле частных.
- Категория абелевых групп кручения — ко-отражающая подкатегория категории абелевых групп. Отражатель отправляет абелеву группу в её подгруппу кручения.
- Категория векторных пространств над данным полем k — это отражающая подкатегория категории множеств. Отражатель — функтор, отправляющий множество B в свободное векторное пространство, порожденное элементами B над k.
Топология
- Колмогоровские пространства (T0-пространства) — отражающая подкатегория Top, категории топологических пространств, и колмогоровский фактор является отражателем.
- Категория компактных хаусдорфовых — отражающая подкатегория топологических пространств с аксиомой Тихонова. Отражатель — Компактификация Стоуна — Чеха.
- Категория полных метрических пространствs c равномерно непрерывными отображениями — отражающая полная подкатегория категории метрических пространств. Отражатель — пополнение метрического пространства.
Функциональный анализ
- Категория банаховых пространств — отражающая полная подкатегория категории нормированных пространств и ограниченных линейных операторов. Отражатель — пополнение по норме.