Тригонометрический многочлен

Тригонометрический многочлен — функция вещественного аргумента, которая является конечной тригонометрической суммой, то есть функция, представленная в виде:

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos (kx)+b_k\sin (kx))$,

где аргумент и коэффициенты $x,a_k,b_k\in ℝ$, а $k=1,2,...,n$.

В комплексной форме согласно формуле Эйлера такой многочлен записывается следующим образом:

$f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}{c}_k{e}^{ikx}$,

где $c_0=\frac{a_0}{2},c_k=\frac{(a_k-i{b}_k)}{2},c_{-k}=\frac{(a_k+i{b}_k)}{2}$.

Эта функция бесконечно дифференцируема и $2\pi$-периодична — непрерывна на единичном круге.

Тригонометрические многочлены являются важнейшим средством приближения функций, используются для интерполяции и решения дифференциальных уравнений.

Согласно теореме Вейерштрасса для любой непрерывной на круге функции существует последовательность тригонометрических многочленов, которая к ней равномерно сходится.

Тригонометрический многочлен является частичной суммой ряда Фурье. Согласно теореме Фейера последовательность арифметических средних частичных сумм ряда Фурье равномерно сходится к непрерывной на круге функции. Это даёт простой конструктивный метод построения равномерно сходящейся последовательности тригонометрических многочленов.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга