Ядро Фейера

Ядро Фейера — функция, применяющаяся для суммирования по Чезаро рядов Фурье или преобразований Фурье, задаваемая формулой:

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{D}_k(x)$,

где $D_k(x)$ — ядро Дирихле. В сокращённой формеШаблон:Sfn:

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\frac{1}{2(n+1)}\frac{{\sin }^2\frac{n+1}{2}x}{{\sin }^2\frac{x}{2}}$.

Названо в честь венгерского математика Липота Фейера.

Если $f(x)$ — интегрируемая на $[-\pi ,\pi ]$ и $2\pi$-периодическая функция, то:

$\mathrm{\forall }x\in ℝ\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{\sigma }_n(f;x)=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x-u){\mathrm{\Phi }}_n(u)du=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(f(x-u)+f(x+u)){\mathrm{\Phi }}_n(u)du$.

Теорема Фейера: если $f(x)$ — непрерывная $2\pi$-периодическая функция, $S_k(x)$ — частичные суммы ряда Фурье этой функции, а ${\sigma }_n(x)$ — среднее арифметическое этих частичных сумм — ${\sigma }_n(x)=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{S}_k(x)$ (называемое также суммой Фейера порядка $n$), то ${\sigma }_n(x)$ равномерно сходится к $f(x)$.

Если ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$ — положительная $2\pi$-периодическая чётная функция, то выполнены следующие утверждения:

• $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\mathrm{\Phi }}_n(u)du=\pi$;
• $\underset{\delta }{\overset{\pi }{\int }}{\mathrm{\Phi }}_n(u)du\to 0,\underset{-\pi }{\overset{-\delta }{\int }}{\mathrm{\Phi }}_n(u)du\to 0,n\to \mathrm{\infty }$ для любого фиксированного $\delta >0$.

Ядро Фейера для интеграла ФурьеШаблон:Sfn:

$F_n(x)=\frac{2}{\pi n}\frac{{\sin }^2\frac{n}{2}x}{x^2}$

Свойства ядра Фейера для интеграла Фурье:

• $F_n(x)⩾0$;
• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_n(x)dx=1$;
• $\underset{|x|⩾\delta }{\int }{F}_n(x)dx\to 0$ для любого фиксированного $\delta >0$ при $n\to \mathrm{\infty }$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Из