Ядро Дирихле

Шаблон:Другие значения термина Ядро Дирихле — $2\pi$-периодическая функция, задаваемая следующей формулой:

$D_n(x)=\sum _{k=-n}^n\frac{e^{ikx}}{2}=\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n\cos (kx)=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{2\sin (x/2)}.$

Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и её приближениями в пространстве $L_2[-\pi ,\pi ]$.

Соотношение с рядом Фурье

Пусть $f(x)$ — интегрируема на $[-\pi ,\pi ]$ и $2\pi$-периодическая, тогда $\mathrm{\forall }x\in ℝ\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

$S_n(f;x)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x+u)\frac{\sin (n+\frac{1}{2})u}{2\sin \frac{u}{2}}du=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x+u)D_n(u)du$

Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.

Доказательство

Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.

$S_n(f;x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos (kx)+b_k\sin (kx))(1)$

$S_n(f;x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)dt+\sum _{k=1}^n[(\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\cos (kt)dt)\cos (kx)+(\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\sin (kt)dt)\sin (kx)](2)$

$S_n(f;x)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)[\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n(\cos (kt)\cos (kx)+\sin (kt)\sin (kx))]dt(3)$

Применяя формулу косинуса разности к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:

$S_n(f;x)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)[\frac{1}{2}+\sum _{k=1}^n(\cos (k(t-x))]dt(4)$

Рассмотрим сумму косинусов: $\frac{1}{2}+\cos \alpha +\cos (2\alpha )+...+\cos (n\alpha )$

Умножим каждое слагаемое на $2\sin (\frac{\alpha }{2})$ и преобразуем по формуле $2\sin \alpha \cos \beta =\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )$

$2\sin (\frac{\alpha }{2})(\frac{1}{2}+\cos \alpha +\cos (2\alpha )+...+\cos (n\alpha ))=\sin \frac{\alpha }{2}-\sin \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{3\alpha }{2}-\sin \frac{3\alpha }{2}+...+\sin (n+\frac{1}{2})\alpha =\sin (n+\frac{1}{2})\alpha$

Применяя это преобразование к формуле (4), получим:

$S_n(f;x)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(t)\frac{\sin (n+\frac{1}{2})(t-x)}{2\sin \frac{t-x}{2}}dt(5)$

Сделаем замену переменного $u=t-x$

$S_n(f;x)=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi -x}{\overset{\pi -x}{\int }}f(x+u)\frac{\sin (n+\frac{1}{2})u}{2\sin \frac{u}{2}}du=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x+u)\frac{\sin (n+\frac{1}{2})u}{2\sin \frac{u}{2}}du(6)$

Свойства ядра Дирихле

• $D_n(x)$ — функция $2\pi$-периодическая и четная.
• $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{D}_n(u)du=\pi$

См. также

• Сопряжённое ядро Дирихле
• Ядро Фейера
• Ядро Джексона