Ядро Джексона

Ядром Джексона в теории приближений называется $2\pi$-периодическая функция, задающаяся формулой:

$d_n(t)={\gamma }_n{\left(\frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\right)}^4$

Названо именем учёного, занимавшегося теорией приближений и тригонометрических полиномов — Шаблон:Iw.

Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму ряда Фурье.

Константа ядра Джексона

Константа ${\gamma }_n$ определяется из соотношения $\underset{𝕋}{\int }{d}_n(t)dt=1,𝕋=[-\pi ;\pi ]$ и равна ${\gamma }_n=\frac{3}{2\pi n(2n^2+1)}$

Доказательство

Используем равенство Парсеваля для случая пространства L₂:

Если $f\in {𝕃}_2$, то верно следующее тождество: $\underset{Q}{\int }{f}^2=\pi (\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2))$

Необходимо подставить в это равенство $f={\left(\frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\right)}^2$

Предварительно необходимо написать выражение для ${\left(\frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\right)}^2$, используя ядро Фейера и ядро Дирихле:

${\mathrm{\Phi }}_{n-1}(t)=\frac{1}{2\pi n}{\left(\frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\right)}^2=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{D}_k(t)=$
$=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{\pi }(\frac{1}{2}+\sum _{j=1}^k\cos jt)$

Из этого следует, что

${\left(\frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\right)}^2=2\pi n\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{\pi }(\frac{1}{2}+\sum _{j=1}^k\cos jt)=n+2\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{j=1}^k\cos jt$

Поменяв местами две суммы и применив соответствующее преобразование для индексов, получим:

${\left(\frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\right)}^2=n+2\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=1}^{n-j}\cos jt=n+\sum _{j=1}^{n-1}(n-j)\cos jt$

Далее, очевидно, что коэффициенты полученного тригонометрического полинома будут коэффициентами Фурье его суммы, то есть $a_0=2n,a_k=k-j(0<k<n),a_k=0(k>n-1),b_k=0$

Остаётся лишь подставить эти коэффициенты в соответствующее выражение для интеграла:

$\underset{Q}{\int }{\left(\frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\right)}^4=\pi (2n^2+4\sum _{j=1}^{n-1}{(n-j)}^2)=\pi (2n^2+4\sum _{j=1}^{n-1}{j}^2)=\pi (2n^2+4\left(\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\right))=$
$=\pi \left(\frac{12n^2+8n^3-12n^2+4n}{6}\right)=\frac{2\pi n(2n^2+1)}{3}$
А значит, подставив в основное тождество для ядра Джексона, можно получить выражение для константы:
${\gamma }_n=\frac{1}{\underset{Q}{\int }{\left(\frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\right)}^4}=\frac{3}{2\pi n(2n^2+1)}$
Таким образом, утверждение о константе доказано.

См. также

• Тригонометрический ряд Фурье
• Неравенство Джексона — Стечкина
• Ядро Дирихле
• Ядро Фейера

Литература

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга