Тождество Бохнера

Тождество Бохнера — общее название семейства тождеств в римановой геометрии, связывающих лапласианы разных типов и кривизну. Тождества получаемыe интегрированием тождества Бохнера иногда называются тождествами Рейли.

Формулировка

Пусть $S$ есть расслоение Дирака над римановым многообразием $M$, $D$ — соответствующий оператор Дирака, и тогда

$D^2\varphi ={\mathrm{\nabla }}^{*}\mathrm{\nabla }\varphi +\Re (\varphi )$

для любого сечения $\varphi :M\to S$.

Обозначения

Далее $e_i$ обозначает ортонормированный репер в точке.

• $\mathrm{\nabla }$ обозначает связность на $S$, и

  ${\mathrm{\nabla }}^{*}\mathrm{\nabla }\varphi =-\sum _i{\mathrm{\nabla }}_{e_i}{\mathrm{\nabla }}_{e_i}\varphi ,$

так называемый лапласиан по связности.

• $\Re$ — сечение $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(S,S)$, определяемое как

  $\Re (\varphi )=\frac{1}{2}\cdot \sum _{i,j}{e}_i.e_j.R_{e_i,e_k}\varphi ,$

где «$.$» обозначает умножение Клиффорда, и

$R_{X,Y}={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_Y-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_X-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}$

— преобразование кривизны.

• $D$ — оператор Дирака на $S$, то есть

  $D\varphi =\sum _i{e}_i.{\mathrm{\nabla }}_{e_i}\varphi .$

и $D^2\varphi =\mathrm{\Delta }\varphi$ лапласиан Ходжа на дифференциальных формах

Следствия

• Из тождества Бохнера для градиента функции $u$ получаем следующую интегральную формулу для любого замкнутого многообразия

  $\underset{M}{\int }|\mathrm{\Delta }u{|}^2-\underset{M}{\int }|\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}u{|}^2=\underset{M}{\int }\text{Ric}(\mathrm{\nabla }u,\mathrm{\nabla }u)$,

где $\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}u$ обозначает гессиан $u$.

• Если $u:M\to ℝ$ — гармоническая функция, то

  $\mathrm{\Delta }(\frac{1}{2}\cdot |\mathrm{\nabla }u{|}^2)=|{\mathrm{\nabla }}^{2}u{|}^2+\text{Ric}(\mathrm{\nabla }u,\mathrm{\nabla }u)$,

где $\mathrm{\nabla }u$ обозначает градиент $u$. В частности:

• Компактные многообразия с положительной кривизной Риччи не допускают ненулевых гармонических функций.
• Если $u$ — гармоническая функция на многообразии с положительной кривизной Риччи, то функция $|\mathrm{\nabla }u|$ субгармоническая.

• Из формулы Бохнера следует, что на компактных многообразиях с положительным оператором кривизны отсутствуют гармонические формы любой степени, то есть оно является рационально гомологической сферой.
  • Другим методом, а именно потоком Риччи, удалось доказать что любое такое многообразие диффеоморфно фактору сферы по конечной группе.

Литература

• Шаблон:Книга