Интегрирование по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие равенства

для неопределённого интеграла

$\int udv=uv-\int vdu$

или в другой записи

$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int v{u}^{\prime }dx$

для определённого интеграла

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=uv{|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$

Предполагается, что нахождение интеграла $\int vdu$ проще, чем $\int udv$. В противном случае применение метода не оправдано.

Получение формул

Для неопределённого интеграла

Функции $𝑢$ и $𝑣$ гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

$d(uv)=vdu+udv$

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

$\int d(uv)=\int vdu+\int udv$

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

$uv=\int vdu+\int udv$

После перестановок:

$\int udv=uv-\int vdu$

Не стоит, однако, забывать, что это равенство подразумевается в смысле равенства множеств, то есть, грубо говоря, с точностью до константы, возникающей во время интегрирования.

Типичную ошибку «потери» константы при обращении с неопределенным интегралом иллюстрирует следующий пример-софизм:

$\int \frac{dx}{x}=\frac{1}{x}\cdot x-\int \frac{-1}{x^2}\cdot xdx=1+\int \frac{dx}{x}$

Отсюда «следствие»: $0=1$, что очевидно неверно.

Для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

$d(uv)=vdu+udv$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}d(uv)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu+\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv$

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}udv=uv{|}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}vdu$

Данные формулы справедливы, если каждая из функций $u$ и $v$ непрерывно дифференцируема на области интегрирования.

Табличное интегрирование по частям

Основной процесс приведённой выше формулы может быть обобщено в таблице.

Например, рассмотрим интеграл

$\int x^3\cos xdx$ $u^{(0)}=x^3,v^{(n)}=\cos x.$

Начнем перечислять в столбце D функцию $u^{(0)}=x^3$ и ее последующие производные $u^{(i)}$ до тех пор, пока не будет получен 0. Затем, перечисляем в столбце I функцию $v^{(n)}=\cos x$ и ее последующие первообразные $v^{(n-i)}$ до тех пор, пока размер столбца I не будет таким же, как и в столбце D. Результат выглядит следующим образом:

# i	Знак	D: производные u(i)	I: интегралы v(n−i)
0	+	$x^3$	$\cos x$
1	−	$3x^2$	$\sin x$
2	+	$6x$	$-\cos x$
3	−	$6$	$-\sin x$
4	+	$0$	$\cos x$

Произведение значений в Шаблон:Nowrap столбцов D и I вместе с соответствующим им знаком выдают соответствующие интегралы на Шаблон:Nowrap в течение повторяющихся шагов интегрирования по частям. Шаблон:Nowrap несет в себе исходный интеграл. для полного результата в Шаблон:Nowrap Шаблон:Nowrap должен быть добавлен к предыдущим произведениям(Шаблон:Math) Шаблон:Nowrap столбца D и Шаблон:Nowrap столбца I (т.е., умножить 1-е значение столбца D на 2-е значение столбца I, 2-е значение столбца D на 3-е значение столбца I, и т.д. ...) не забывая о Шаблон:Nowrap Процесс завершается, когда произведение, которое несет в себе интеграл, принимает значение 0 (Шаблон:Math в нашем примере). Конечный результат следующий: (включая разные знаки в каждом сегменте):

$\underset{j=0}{\underbrace{(+1)(x^3)(\sin x)}}+\underset{j=1}{\underbrace{(-1)(3x^2)(-\cos x)}}+\underset{j=2}{\underbrace{(+1)(6x)(-\sin x)}}+\underset{j=3}{\underbrace{(-1)(6)(\cos x)}}+\underset{i=4:\to C}{\underbrace{\int (+1)(0)(\cos x)dx}}.$

В итоге:

$\underset{\text{шаг 0}}{\underbrace{\int x^3\cos xdx}}=x^3\sin x+3x^2\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.$

Примеры

• $\int x\cos xdx=\int xd(\sin x)=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$
• $\int e^{x}xdx=\int xd(e^x)=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$
• Иногда этот метод применяется несколько раз:

$\int x^2\sin xdx=\int x^{2}d(-\cos x)=-x^2\cos x-\int -2x\cos xdx=$

$=-x^2\cos x+\int 2xd(\sin x)=-x^2\cos x+2x\sin x-\int 2\sin xdx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

• Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:

$\int \ln xdx=x\ln x-\int \frac{1}{x}xdx=x\ln x-x+C$

$\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\int \frac{x}{1+x^2}dx=x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

• В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:

$I_1=\int e^{\alpha x}\sin \beta xdx=$

$=\int e^{\alpha x}d(-\frac{1}{\beta }\cos \beta x)=-\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\cos \beta x+\frac{\alpha }{\beta }\int e^{\alpha x}\cos \beta xdx=-\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\cos \beta x+\frac{\alpha }{\beta }{I}_2$

$I_2=\int e^{\alpha x}\cos \beta xdx=$

$=\int e^{\alpha x}d(\frac{1}{\beta }\sin \beta x)=\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\sin \beta x-\frac{\alpha }{\beta }\int e^{\alpha x}\sin \beta xdx=\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\sin \beta x-\frac{\alpha }{\beta }{I}_1$

Таким образом один интеграл выражается через другой:

$\{\begin{array}{c}{I}_1=-\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\cos \beta x+\frac{\alpha }{\beta }{I}_2\\ I_2=\frac{1}{\beta }{e}^{\alpha x}\sin \beta x-\frac{\alpha }{\beta }{I}_1\end{array}$

Решив полученную систему, получаем:

$I_1=\frac{e^{\alpha x}}{{\alpha }^2+{\beta }^2}(\alpha \sin \beta x-\beta \cos \beta x)+C$

$I_2=\frac{e^{\alpha x}}{{\alpha }^2+{\beta }^2}(\alpha \cos \beta x+\beta \sin \beta x)+C$

Многомерный случай

Существует обобщение формулы интегрирования по частям для функций от нескольких переменных. В таком случае вместо интервала рассматривается подмножество ${ℝ}^n$, а вместо производной − частная производная.

Пусть $\mathrm{\Omega }$ открытое ограниченное подмножество ${ℝ}^n$ с кусочно-гладкой границей $\partial \mathrm{\Omega }$. Если $u$ и $v$ гладкие функции на замыкании $\mathrm{\Omega }$, то

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\frac{\partial u}{\partial x_i}vdx=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }uv{n}_{i}d\sigma -\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }u\frac{\partial v}{\partial x_i}dx$

где $\overrightarrow{n}$ − внешняя нормаль к $\partial \mathrm{\Omega }$, а $n_i$ − её i-ая координата, i от 1 до n, $\sigma$ - мера на $\partial \mathrm{\Omega }$.

См. также

• Интеграл
• Интеграл Римана
• Преобразование Лежандра
• Методы интегрирования
• Дискретное преобразование Абеля — аналог интегрирования по частям для сумм.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Также см. Математический анализ#Библиография.

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web