Модель Удзавы — Лукаса

Файл:Хирофуми Удзава.jpg

Хирофуми Удзава

Модель Удзавы — Лукаса (модель Лукаса Шаблон:Lang-en) — двухсекторная модель эндогенного экономического роста в условиях совершенной конкуренции, показывающая возможность существования устойчивого экономического роста, обусловленного внешними эффектами от накопления персонифицированного человеческого капитала в секторе образования. В модели показано, что решения экономических агентов об уровне образования могут быть источником устойчивого экономического роста наряду с научно-техническим прогрессом. Модель Удзавы — Лукаса вклад в изучение человеческого капитала и внешних эффектов от него. Первоначальная версия модели была разработана Хирофуми Удзавой в 1965 году, которая затем была существенно дополнена Робертом Лукасом в 1988 году.

История создания

После того, как Пол Ромер разработал модель обучения в процессе деятельности, исследователи обратились к теме внешних эффектов от запаса капитала, с помощью которых можно было показать возможность наличия устойчивых темпов роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса. В модели Ромера внешние эффекты происходили от совокупного физического запаса капитала и через эффект перелива знаний распространялись на всю экономику. Будущий лауреат Нобелевской премии по экономике Роберт Лукас предложил иное толкование: по его мнению, внешние эффекты происходили от человеческого капитала. За основу он взял модель Хирофуми Удзавы, изложенную в работе «Оптимальные технические изменения в агрегированной модели экономического роста», изданной в журнале Шаблон:Нп3 в январе 1965 годаШаблон:Sfn. В модели Удзавы рассматривалась экономика, в которой темпы научно-технического прогресса зависят от доли трудовых ресурсов, занятых в образовательном секторе. Однако в модели Удзавы была постоянная отдача от физического и человеческого капитала была постоянной, а внешние эффекты отсутствовали. Роберт Лукас изложил свою модель в лекциях в Кембриджском университете в 1985 годуШаблон:Sfn, её основные положения были позже изложены в работе «О механике экономического развития», изданной в журнале Journal of Monetary Economics в июле 1988 годаШаблон:Sfn. Лукас добавил в модель Удзавы внешний эффект от среднего уровня образования в экономикеШаблон:Sfn, тем самым существенно усложнив её: теперь отдача от капитала стала переменной во времени, индивидуальная и общественная отдача от образования стали различными, и, следовательно, решения для конкурентной и централизованной экономики стали различнымиШаблон:Sfn. Похожая постановка в модели, предложенной другим будущим лауреатом Нобелевской премии по экономике Полом Кругманом в 1987 году, однако в постановке Лукаса более четко обозначен внешний эффект от образования, считающийся внешним для каждого отдельного производителя, но при этом являющийся результатом решения экономических агентовШаблон:Sfn. Итоговую модель назвали моделью «Удзавы — Лукаса»Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn (также встречается название «модель Лукаса»Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn).

Описание модели

Базовые предпосылки модели

В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции. Производится только один продукт $Y$, используемый, как для потребления $C$, так и для инвестиций $I$. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Фискальная политика в модели отсутствует. Время $t$ изменяется непрерывноШаблон:Sfn.

Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: $S=I$, $C=cL$, $Y=C+I$.

Производственная функция задается следующей формулойШаблон:Sfn:

$Y_t=A{K}_t^{\alpha }(u{H}_t{)}^{1-\alpha }{\overline{h_t}}^{\beta }$,

где $A$ — технологический параметр, $A=const$, $K_t$ — совокупный запас физического капитала, $u$ — доля населения, занятого в производстве, $0<u<1$, ${\overline{h_t}}^{\beta }$ — внешний эффект от среднего уровня образования в экономике, $0<\beta <1$, $\alpha$ — эластичность выпуска по физическому капиталу, $0<\alpha <1$, $H_t$ — совокупный запас человеческого капитала, $H_t=h_t{L}_t$,

где $L_t$ — население равное в модели трудовым ресурсам, $L=L_0{e}^{nt}$, $n=const$, $h_t$ — уровень квалификации работников.

Для человеческого и физического капиталов выполняются условия отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды)Шаблон:Sfn:

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{K}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }\ge 0$,

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{h}_t{L}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }\ge 0$,

где $r$ — ставка процента в экономике.

Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает натуральную заработную плату (в единицах товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя $u(c_t)$ является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям $u^{\prime }(c)>0,u^{″}(c)<0$ и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): $\underset{c\to 0}{\lim }{u}^{\prime }(c)=+\mathrm{\infty };\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}^{\prime }(c)=0$, а также обладает постоянной эластичностью замещения $\frac{u^{″}(c)}{u^{\prime }(c)}c=-\theta$, и имеет видШаблон:Sfn:

$U(c)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{c^{1-\theta }-1}{1-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}dt$,

где $\rho$ — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, $\rho >0,\rho =const$.

Сектор образования описывается следующим уравнениемШаблон:Sfn:

$\dot{h}=\gamma (1-u)h_t$,

где $\dot{h}$ — производная уровня квалификации по времени, $(1-u)$ — доля населения, занятого повышением квалификации, $\gamma$ — коэффициент производительности сектора образования, $\gamma >0$, $\gamma =const$.

Решение индивида об уровне образования

Индивидуум принимает решение об уровне образования исходя из максимизации своего дохода $z$Шаблон:Sfn:

$z=\underset{S}{\overset{N}{\int }}h(S)w_t{e}^{-rt}dt=\underset{S}{\overset{N}{\int }}{e}^{\gamma S+g_{w}t-rt}dt=\frac{e^{\gamma S+g_{t}N-rN}-e^{\gamma S+g_{w}S-rS}}{g_w-r}\to max$,

где $N$ — общий объём времени экономического агента, $S$ — время, потраченное на обучение, $h(S)=e^{\gamma S}$ — уровень образования индивида исходя из предпосылки $\dot{h}=\gamma (1-u)h_t$, $w_t=e^{g_{w}t}$— уровень заработной платы, где $g_w=\frac{\dot{w}}{w}$ — темп роста заработной платы, $g_w<r$.

Условие максимумаШаблон:Sfn:

$\frac{\partial z}{\partial S}=\frac{\gamma e^{\gamma S+g_{w}N-rN}-(\gamma +g_w-r)e^{\gamma S+g_{w}S-rS}}{g_w-r}=0$,

Решение этого уравнения в виде оптимального времени обучения $S^{*}$ выглядит следующим образомШаблон:Sfn:

$S^{*}=N-\frac{1}{(g_w-r)}ln(1+\frac{g_w-r}{\gamma })$

Если принять дополнительную предпосылку о том, что экономический агент тратит на учёбу значительно меньшую часть своей жизни, чем на работу ($N>>S$), или же, по аналогии с моделью пересекающихся поколений, считая, что человеческий капитал передается по наследству, а альтруистические связи между поколениями делают поведение домохозяйства аналогичным поведению бесконечно живущего индивида ($N\to \mathrm{\infty }$), мы получаем, чтоШаблон:Sfn:

$-\frac{\gamma }{g_w-r}=1\Rightarrow r=\gamma +g_w$.

Задача потребителя и общее экономическое равновесие

Задача потребителя в модели заключается в максимизации полезности при условии ограничений на темп роста капитала и на темп роста квалификации работников. Отдельный индивидуум в условиях совершенной конкуренции не влияет на средний уровень образования в экономике, потому в конкурентном равновесии $\frac{\partial \overline{h_t}}{\partial h_{it}}=0$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

$U(c)\to \max$

при условиях:

$\dot{K}=I_t=Y_t-C_t=A{K}_t^{\alpha }(u{h}_t{L}_t{)}^{1-\alpha }{\overline{h}}_t^{\beta }-c{L}_t$,

$\dot{h}=\gamma (1-u)h_t$,

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{K}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }\ge 0$,

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{h}_t{L}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }\ge 0$,

где $\dot{K}$ — производная запаса капитала по времени.

Для поиска равновесия составляется функция Гамильтона и находится её максимум при помощи принципа максимума ПонтрягинаШаблон:Sfn.

Функция Гамильтона выглядит следующим образом:

$J=\frac{c^{1-\theta }-1}{1-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}{L}_t+{\lambda }_t(A{K}_t^{\alpha }(u{h}_{t}L{)}^{1-\alpha }{\overline{h_t}}^{\beta }-c{L}_t)+{\mu }_t\gamma (1-u)h_t$.

Условия максимума первого порядкаШаблон:Sfn:

$\frac{\partial J}{\partial c}=L_t(c^{-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}-{\lambda }_t)=0$,

$\frac{\partial J}{\partial u}={\lambda }_{t}A{K}_t^{\alpha }{u}^{-\alpha }(h_t{L}_t{)}^{1-\alpha }{\overline{h_t}}^{\beta }-{\mu }_t\gamma h_t=0$.

Фазовые координаты (сопряжённые уравнения)Шаблон:Sfn:

$\frac{\partial J}{\partial K}={\lambda }_t\alpha A{K}_t^{\alpha -1}(u{h}_t{L}_t{)}^{1-\alpha }{\overline{h_t}}^{\beta }=-\dot{\lambda }$,

$\frac{\partial J}{\partial h}={\lambda }_t(1-\alpha )K_t^{\alpha }(u{L}_t{)}^{1-\alpha }{h}_t^{-\alpha }{\overline{h_t}}^{\beta }-{\mu }_t\gamma (1-u)=-\dot{\mu }$,

где $\dot{\lambda }$ и $\dot{\mu }$ — производные $\lambda$ и $\mu$ по времени.

Условия трансверсальности (при невыполнении которых найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой) совпадают с ограничением на отсутствие схемы ПонциШаблон:SfnШаблон:Sfn: $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }_t{K}_t=0$ и $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mu }_t{h}_t{L}_t=0$, где ${\lambda }_t$ представляет собой Шаблон:Нп3 физического капитала, a ${\mu }_t$ — теневую цену человеческого капитала (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояниеШаблон:Sfn).

Искомый равновесный темп роста выпуска $g_Y^{*}=\frac{\dot{Y}}{Y}$ и потребления $g_C^{*}=\frac{\dot{C}}{C}$ имеет следующий видШаблон:Sfn:

$g_C^{*}=g_Y^{*}=\frac{(\gamma -\rho +n)(1-\alpha +\beta )}{\theta (1-\alpha )-(1-\theta )\beta }+n$.

Темп роста выпуска на душу населения $g_y^{*}=\frac{\dot{y}}{y}$ и потребления и потребления на душу населения $g_c^{*}=\frac{\dot{c}}{c}$ имеет следующий видШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$g_c^{*}=g_y^{*}=\frac{(\gamma -\rho +n)(1-\alpha +\beta )}{\theta (1-\alpha )-(1-\theta )\beta }$.

Равновесный темп роста заработной в модели платы $g_w^{*}$ имеет видШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$g_w^{*}=\frac{(\gamma -\rho +n)\beta }{\theta (1-\alpha )-(1-\theta )\beta }$.

Оптимальное экономическое равновесие

Поскольку в модели присутствуют внешние эффекты, которые не учитываются потребителями при принятии решения об уровне образования ($\frac{\partial \overline{h_t}}{\partial h_{it}}=0$), то децентрализованное равновесие не является оптимальным. Потому в модели при централизованном планировании можно достичь более высокого уровня потребления $c$. При централизованном планировании $\overline{h_t}=h_t$, и задача централизованного планирования выглядит следующим образомШаблон:SfnШаблон:Sfn.

$U(c)\to \max$

При условиях:

$\dot{K}=I_t=Y_t-C_t=A{K}_t^{\alpha }(u{h}_t{L}_t{)}^{1-\alpha }{h}_t^{\beta }-c{L}_t$,

$\dot{h}=\gamma (1-u)h_t$,

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{K}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }\ge 0$,

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{h}_t{L}_t{e}^{-\underset{0}{\overset{t}{\int }}(r(\nu )-n)d\nu }\ge 0$.

Для поиска равновесия составляется функция Гамильтона и находится её максимум при помощи принципа максимума ПонтрягинаШаблон:Sfn.

Функция Гамильтона выглядит следующим образом:

$\hat{J}=\frac{c^{1-\theta }-1}{1-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}{L}_t+{\lambda }_t(A{K}_t^{\alpha }(u{h}_t{L}_t{)}^{1-\alpha }{h}_t^{\beta }-c{L}_t)+{\mu }_t\gamma (1-u)h_t$.

Условия максимума первого порядкаШаблон:Sfn:

$\frac{\partial \hat{J}}{\partial c}=L_t(c^{-\theta }{e}^{-(\rho -n)t}-{\lambda }_t)=0$,

$\frac{\partial \hat{J}}{\partial u}={\lambda }_{t}A{K}_t^{\alpha }{u}^{-\alpha }(h_t{L}_t{)}^{1-\alpha }{h}_t^{\beta }-\mu \gamma h_t=0$.

Фазовые координаты (сопряжённые уравнения)Шаблон:Sfn:

$\frac{\partial \hat{J}}{\partial K}={\lambda }_t\alpha A{K}_t^{\alpha -1}(u{h}_t{L}_t{)}^{1-\alpha }{h}_t^{\beta }=-\dot{\lambda }$,

$\frac{\partial \hat{J}}{\partial h}={\lambda }_t(1+\beta -\alpha )K_t^{\alpha }(u{L}_t{)}^{1-\alpha }{h}_t^{\beta -\alpha }-{\mu }_t\gamma (1-u)=-\dot{\mu }$,

где $\dot{\lambda }$ и $\dot{\mu }$ — производные $\lambda$ и $\mu$ по времени.

Условия трансверсальности: $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\lambda }_t{K}_t=0$ и $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mu }_t{h}_{t}L=0$, где ${\lambda }_t$ представляет собой Шаблон:Нп3 физического капитала, a ${\mu }_t$ — теневую цену человеческого капиталаШаблон:Sfn.

Искомый равновесный темп оптимальный роста выпуска $g_Y^{**}=(\frac{\dot{Y}}{Y}{)}_{opt}$ и потребления $g_C^{**}=(\frac{\dot{C}}{C}{)}_{opt}$ имеет следующий видШаблон:Sfn:

$g_C^{**}=g_Y^{**}=\frac{1}{\theta }(\gamma \frac{1-\alpha +\beta }{1-\alpha }-\rho +n)+n$.

Темп роста выпуска на душу населения $g_y^{**}=(\frac{\dot{y}}{y}{)}_{opt}$ и потребления и потребления на душу населения $g_c^{**}=(\frac{\dot{c}}{c}{)}_{opt}$ имеет следующий видШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$g_c^{**}=g_y^{**}=\frac{1}{\theta }(\gamma \frac{1-\alpha +\beta }{1-\alpha }-\rho +n)$.

Ставка процента $r^{**}$, соответствующая оптимальным темпам роста, имеет следующий видШаблон:SfnШаблон:Sfn::

$r^{**}=\gamma \frac{1-\alpha +\beta }{1-\alpha }$.

Таким образом, темпы роста потребления выпуска и заработной платы в модели при централизованном планировании выше, чем при конкурентном равновесииШаблон:Sfn. Однако при отсутствии внешнего эффекта от уровня образования (если $\beta =0$), темпы роста выпуска в централизованном и конкурентном состоянии совпадают и равныШаблон:Sfn:$g_C=g_Y=\frac{1}{\theta }(\gamma -\rho +n)+n$, а заработная плата не растет ($g_w=0$), и модель превращается в полный аналог изначальной модели Удзавы.

Влияние государственной политики на равновесие в модели

Модель Узавы-Лукаса, равновесие и государственная политика

Графически равновесие в модели показано на иллюстрации. Синяя линия показывает общую отдачу от образования для экономики ($r^{**}$). Зелёная линия показывает отдачу от образования для отдельного индивида. Красная линия обозначает финансовые ограничения индивида (сбережения). Точка $E_0$ — пересечение финансовых ограничений и отдачи от образования для индивида, конкурентное равновесие. Точка $O_0$ — пересечение финансовых ограничений и отдачи от образования для экономики, оптимальное (централизованное) равновесие. Точка $M$ — пересечение персональной и социальной отдачи от образования, максимально возможные темпы роста при текущем уровне внешних эффектов от образования $\beta$. Для темпов роста, превышающих темпы в точке $M$, необходимо, чтобы отдача от образования для индивида превышала общую отдачу от образования для экономики, что при положительном внешнем эффекте от образования невозможноШаблон:Sfn.

Государственная политика может влиять на равновесие двумя способами. Первый вариант — стимулирование образования. Увеличение расходов на образование делает его производительность $\gamma$ выше, что сдвигает линию отдачи от образования для индивида (зелёную линию) вверх, равновесие сдвигается в точку $E_1$, приближая его к точке $O_0$: темпы роста $g_Y$и процентная ставка $r$ вырастут. Оптимальное равновесие не меняетсяШаблон:Sfn.

Второй вариант — поощрение сбережений (в том числе и через повышение их доходности). в этом случае линию финансовых ограничений (красную линию) индивида вправо, равновесие сдвигается в точку $E_2$: темпы роста $g_Y$и процентная ставка $r$ вырастут. Однако оптимальное равновесие также изменится, оно сдвинется в точку $O_1$, приближаясь к точке $M$Шаблон:Sfn.

Возможно и одновременное применение обеих политик, тогда равновесие сдвинется в точку $E_3$, в которой темпы роста $g_Y$и процентная ставка $r$ выше, чем в точках $E_1$ и $E_2$Шаблон:Sfn.

Преимущества, недостатки и дальнейшее развитие модели

Достоинством модели является то, что она, в отличие от более ранних моделей (модель Рамсея — Касса — Купманса, модель пересекающихся поколений) демонстрирует возможность устойчивого экономического роста без экзогенно задаваемых темпов научно-технического прогресса. Модель не была первой, в которой человеческий капитал интегрирован в производственную функцию, однако, в отличие от модели Менкью — Ромера — Вейла, экономический рост в модели является эндогенным. Он основывается на накоплении человеческого капитала $H_t$ в форме повышения уровня образования, который усиливается внешними эффектами от распространения знаний в экономике. Таким образом, в модели Удзавы — Лукаса показано, что решения экономических агентов об уровне образования могут быть источником устойчивого экономического роста наряду с научно-техническим прогрессомШаблон:Sfn, тем самым показав важность изучения человеческого капитала и внешних эффектов от негоШаблон:Sfn. Благодаря этому, модель привлекла внимание многих исследователей к зарождающейся теории эндогенного экономического ростаШаблон:Sfn.

Также как и модель обучения в процессе деятельности, модель Удзавы — Лукаса не предполагает ни абсолютной, ни условной конвергенции, так как темпы роста не падают с ростом объёма выпуска, а значит, в рамках её предпосылок бедные страны не могут догнать богатыеШаблон:Sfn. Это более реалистичный вывод, чем у моделей Солоу и Рамсея — Касса — Купманса, предполагавших, что при одинаковых структурных параметрах, бедные страны должны догонять богатые. В большинстве случаев бедные страны действительно не могут догнать богатыеШаблон:Sfn, хотя единичные примеры таких стран известны (японское экономическое чудо, корейское экономическое чудо). Более того, в модели обучения в процессе деятельности различия, существующие между странами, со временем только нарастают, а значит, бедные страны не только не могут догнать богатые, но и всё больше отстают от них. Такой вывод представляется чрезмерно пессимистичным по отношению к развивающимся странам и эмпирически не подтверждаетсяШаблон:Sfn.

В отличие от модели обучения в процессе деятельности, устойчивые темпы роста в модели Удзавы — Лукаса не зависят от масштаба экономики $L_t$, что является более реалистичным выводам, поскольку в ряде исследований было показано, что большие страны не растут быстрее малых. Например, Чарльз Джонс показал, что такая предпосылка не соответствует эмпирическим данным. В своей работе Джонс предложил Шаблон:Нп3, объясняющую полученные результаты, являющуюся упрощённой модификацией модели растущего разнообразия товаровШаблон:Sfn.

Вместе с тем, эмпирические исследования показали очень слабое влияние внешних эффектов от человеческого капитала на совокупный выпуск (исследования Дж. РаучаШаблон:Sfn, Д. Аджемоглу и Дж. АнгристаШаблон:Sfn, Э. ДюфлоШаблон:Sfn, Э. МореттиШаблон:Sfn, А. Чикконе и Дж. ПериШаблон:Sfn). Потому, модель не дала исчерпывающего ответа на вопрос о причинах экономического роста, хотя и внесла вклад в их пониманиеШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья