Гиперэллиптическая поверхность

Гиперэллиптическая или биэллиптическая поверхность — это поверхность, морфизм Альбанезе которой является Шаблон:Не переведено 5. Любая такая поверхность может быть записана как факторгруппа произведения двух эллиптических кривых по конечной абелевой группе. Гиперэллиптические поверхности образуют один из классов с Шаблон:Не переведено 5 0 в классификации Энриквеса — Кодайры.

Инварианты

Размерность Кодайры равна 0.

Ромб Ходжа:

		1
	1		1
0		2		0
	1		1
		1

Классификация

Любая гиперэллипическая поверхность является фактором $(E\times F)/G$, где $E=𝐂/\mathrm{\Lambda }$, F — эллиптические кривые, а G — подгруппа группы F (действующая на F переносами). Существует семь семейств гиперэллиптических поверхностей.

Порядок K	$\mathrm{\Lambda }$	G	Действие G на E
2	Любая	$𝐙/2𝐙$	$e\to -e$
2	Любая	$𝐙/2𝐙\oplus 𝐙/2𝐙$	$e\to -e,e\to e+c,-c=c$
3	$𝐙\oplus 𝐙\omega$	$𝐙/3𝐙$	$e\to \omega e$
3	$𝐙\oplus 𝐙\omega$	$𝐙/3𝐙\oplus 𝐙/3𝐙$	$e\to \omega e,e\to e+c,\omega c=c$
4	$𝐙\oplus 𝐙i$	$𝐙/𝐙$	$e\to ie$
4	$𝐙\oplus 𝐙i$	$𝐙/4𝐙\oplus 𝐙/2𝐙$	$e\to ie,e\to e+c,ic=c$
6	$𝐙\oplus 𝐙\omega$	$𝐙/6𝐙$	$e\to -\omega e$

Здесь $\omega$ — первообразный кубический корень из 1, а i — примитивный корень 4-й степени из 1.

Квазигигиперэллиптические пространства

Квазигигиперэллиптическое пространство — это поверхность, канонический дивизор которого численно эквивалентен нулю, Шаблон:Не переведено 5 отображает в эллиптическую кривую, а все его слои являются рациональными кривыми с каспами. Они существуют только в характеристиках 2 или 3. Их второе число Бетти равно 2, второе число Чженя равно нулю, как и Шаблон:Не переведено 5. Классификацию провели Бомбиери и МамфордШаблон:Sfn, которые нашли шесть случаев в характеристике 3 (в этом случае 6K= 0) и восемь случаев в характеристике 2 (в этом случае равно нулю 6K или 4K). Любая квазиэллиптическая поверхность является фактором $(E-F)/G$, где E — рациональная кривая с одним каспом, F является эллиптической кривой, а G является конечной Шаблон:Не переведено 5 группы F (действующей на F переносами).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья