Линейный непрерывный оператор

Линейный непрерывный оператор $A:X\to Y$, действующий из линейного топологического пространства Шаблон:Mvar в линейное топологическое пространство Шаблон:Mvar — это линейное отображение из Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar, обладающее свойством непрерывности.

Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда Шаблон:Mvar многомерно. Если Шаблон:Mvar одномерно, т.е. совпадает с самими полем ($ℝ$ или $ℂ$), то принято использовать термин линейный непрерывный функционал. Множество всех линейных непрерывных операторов из Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar обозначается $L(X,Y)$.

В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.

Свойства

• Если Шаблон:Mvar конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен.
• Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём Шаблон:Mvar).
• Шаблон:Anchor Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
• Если Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar — банаховы пространства, и образ оператора $A\in L(X,Y)$ совпадает с пространством Шаблон:Mvar, то существует обратный оператор $A^{-1}\in L(Y,X)$ (т.н. теорема об обратном операторе).
• Множество всех линейных непрерывных операторов из Шаблон:Mvar в Шаблон:Mvar само является линейным топологическим пространством. Если Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar нормированы, то $L(X,Y)$ также нормировано операторной нормой. Если Шаблон:Mvar — банахово, то и $L(X,Y)$ является таковым, независимо от полноты Шаблон:Mvar.

Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. Например, если Шаблон:Mvar — конечномерное пространство, то оператор $A\in L(X,Y)$ будет вполне непрерывным оператором, область его значений $R(A)$ будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы.

Непрерывность и сходящиеся последовательности

Линейный оператор $A:X\to Y$, действующий из линейного топологического пространства Шаблон:Mvar в линейное топологическое пространство Шаблон:Mvar, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\{x_n\}$ точек Шаблон:Mvar, из $x_n\to x_0$ следует $A{x}_n\to A{x}_0$.

Пусть ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n=s$ сходится и $A:X\to Y$ — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}A{x}_n=As$.

Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах непрерывный линейный оператор можно применять почленно.

Если Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:

если $x_n\to x$ слабо, то $A{x}_n\to Ax$ слабо.

Связанные определения

• Линейный оператор называется ограниченным снизу, если $\mathrm{\exists }k>0,\mathrm{\forall }x\in X,\Vert Ax\Vert \ge k\Vert x\Vert$.

См. также

• Сопряжённый оператор

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга