Пример Помпею

График некоторой функции Помпею. По графику можно видеть, что производная нулевая во всех точках, где функция принимает рациональное значение из интервала (0;1)

График её производной

Пример Помпею — пример дифференцируемой функции, производная которой (производная Помпею) обращается в ноль на плотном множестве. В частности, производная Помпею разрывна в любой точке, где она не равна 0.

История

Вопрос о том, могут ли существовать такие функции, не являющиеся тождественно нулевыми, возник в контексте исследований функциональной дифференцируемости и интегрируемости в начале 1900-х годов. На этот вопрос утвердительно ответил Димитри Помпейу, построив явный пример.

Построение

Пусть $\sqrt[3]{x}$ обозначает вещественный кубический корень вещественного числа $x$. Выберем перечисление рациональных чисел в единичном интервале $q_1,q_2,\dots$ и положительные числа $a_1,a_2,\dots$ такие, что

$a_1+a_2+\dots <\mathrm{\infty }$

Рассмотрим функцию

$g(x):=a_0+\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j\sqrt[3]{x-q_j}.$

Для любого Шаблон:Math из Шаблон:Math каждый член ряда меньше или равна Шаблон:Math по абсолютной величине, так что по признаку Вейерштрасса ряд равномерно сходится к непрерывной строго возрастающей функции Шаблон:Math. Более того, оказывается, что функция Шаблон:Mvar дифференцируема, причем

$g^{\prime }(x):=\frac{1}{3}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_j}{\sqrt[3]{(x-q_j{)}^2}}>0,$

в любой точке, где сумма конечна; кроме того, во всех остальных точках, в частности, в любом из Шаблон:Math, Шаблон:Math.

Поскольку образ Шаблон:Mvar представляет собой замкнутый ограниченный интервал с левым концом

$g(0)=a_0-\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j\sqrt[3]{q_j},$

с точностью до выбора Шаблон:Math мы можем считать Шаблон:Math и с точностью до выбора мультипликативного множителя можем считать, что Шаблон:Mvar отображает интервал Шаблон:Math на себя. Поскольку Шаблон:Mvar строго возрастает, он инъективен и, следовательно, гомеоморфизм.

По теореме о дифференцировании обратной функции обратная к ней функция Шаблон:Math имеет конечную производную в любой точке, которая обращается в нуль по крайней мере в точках Шаблон:Math. Они образуют плотное подмножество Шаблон:Math (на самом деле производная обнуляется на большем множестве, см. Свойства).

Свойства

• Поскольку множество нулей производной любой всюду дифференцируемой функции является G-дельта-множеством, для любой функции Помпею это множество является плотным G-дельта-множеством. В частности, по теореме Бэра оно несчетно.
• Линейная комбинация $a\cdot f+b\cdot g$ функций Помпею имеет производную и обращается в нуль на множестве $\{x\in ℝ\mid f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)=0\}$, которое является плотным G-дельта-множеством. Таким образом, функции Помпею образуют векторное пространство.
• Предельная функция равномерно сходящейся последовательности производных Помпею является производной Помпею. Действительно, это производная по теореме о пределе под знаком производной. Более того, она обращается в нуль на пересечении нулевых множеств функций последовательности: поскольку это плотные G-дельта-множества, нулевое множество предельной функции также плотно.
  • Как следствие, класс Шаблон:Math всех ограниченных производных Помпею на интервале Шаблон:Math является замкнутым линейным подпространством банахова пространства всех ограниченных функций относительно равномерного расстояния (следовательно, это банахово пространство).
  • Вышеупомянутая конструкция Помпею положительна, что является редким свойством: теорема Вейля утверждает, что в общем случае производная Помпейу принимает как положительные, так и отрицательные значения в плотных множествах, в точном смысле, что такие функции составляют плотное G-дельта-множество банахова пространство Шаблон:Math.

Литература

• Шаблон:Cite journal
• Andrew M. Bruckner, "Differentiation of real functions"; CRM Monograph series, Montreal (1994).