Круговой критерий

Круговой критерий — условие абсолютной устойчивости нелинейной системы управления c нелинейностью, лежащей в секторе.

Формулировка

Рассматривается следующая система управленияШаблон:Sfn:

$\dot{x}=Ax+Bu,$

$y=Cx,$

$u=-\psi (t,y),$

где $x\in {ℝ}^n$, $u,y\in ℝ$, $A,B,C$ — матрицы подходящих размерностей, $\psi$ — нелинейная функция со значениями в $ℝ$. Передаточная функция $G(s)$ данной системы равна $C(sE-A{)}^{-1}B$. Предполагается, что

• пара $(A,B)$ управляема,
• пара $(A,C)$ наблюдаема,
• функция $\psi$ лежит в секторе $[\alpha ,\beta ]$ для некоторых вещественных чисел $\alpha$ и $\beta$, то есть

$\alpha y^2⩽y\psi (t,y)⩽\beta y^2,\mathrm{\forall }t⩾0,\mathrm{\forall }y\in ℝ.$

Тогда система абсолютно устойчива (то есть она равномерно асимптотически устойчива с любой нелинейностью $\psi$, удовлетворяющей секторному условию), если выполняется одно из следующих условийШаблон:Sfn:

1. при $0<\alpha <\beta$ годограф Найквиста $G(i\omega )$ не пересекает окружность диаметра $\frac{1}{\alpha }-\frac{1}{\beta }$ с центром в точке $(-\frac{1}{2}(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }),0)$ и оборачивается вокруг неё $m$ раз, двигаясь против часовой стрелки, где $m$ — количество полюсов $G(s)$, имеющих положительную вещественную часть.
2. при $0=\alpha <\beta$ функция $G(s)$ — гурвицева и годограф Найквиста $G(i\omega )$ лежит справа от вертикальной прямой $\{z\in ℂ|\text{Re}(z)=-1/\beta \}$.
3. при $\alpha <0<\beta$ функция $G(s)$ — гурвицева и годограф Найквиста $G(i\omega )$ целиком содержится внутри окружности диаметра $\frac{1}{\alpha }-\frac{1}{\beta }$ с центром в точке $(-\frac{1}{2}(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }),0)$.

Каждое из геометрических условий является частным случаем следующего частотного неравенстваШаблон:Sfn:

$\text{Re}\left(\frac{1+\beta G(i\omega )}{1+\alpha G(i\omega )}\right)>0,\mathrm{\forall }\omega \in ℝ.$

Критерий получил своё название из-за фигурирующих в условиях 1 и 3 кругов. Условие 2 аналогично условию другого критерия абсолютной устойчивости — критерия Попова.

Литература

• Шаблон:Книга