Модель Халла-Уайта

Модель Халла-Уайта (расширенная модель Васичека) - безарбитражная стохастическая однофакторная модель динамики краткосрочной (мгновенной) ставки, представляющая собой расширение базовой модели Васичека за счёт переменной величины среднего долгосрочного уровня ставки с учётом начальной рыночной кривой доходности. Также модель допускает обобщение, когда параметр волатильности и темпа возврата к среднему являются функциями времени (иногда именно это обобщение называют расширенной моделью Васичека).

Динамика форвардных ставок, следующая из Модели Халла-Уайта, соответствует требованиям HJM-подхода к моделированию динамики ставок в целях обеспечения безарбитражности, в том числе в соответствии с начальной кривой доходности.

Математическая модель

Модель представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:

$d{r}_t=a({\theta }_t-r_t)dt+\sigma d{W}_t$

где для соблюдения требования безарбитражности динамики выполнено равенство

${\theta }_t=f(0,t)+\frac{{\partial }_{t}f(0,t)}{a}+\frac{{\sigma }^2{B}_{2a}(0,t)}{a}$,

где $f(0,t)$ - функция мгновенной форвардной ставки по кривой доходности в начальный момент времени

$B_a(t_1,t_2)=B_a(t_2-t_1)=\frac{1-e^{-a(t_2-t_1)}}{a}$

В модель записывают иногда и в следующем виде:

$d{r}_t=({\theta }_t-a{r}_t)dt+\sigma d{W}_t,$

где

${\theta }_t=af(0,t)+f(0,t)+{\sigma }^2{B}_{2a}(0,t)$,

В такой записи более очевидным становится, что в предельном случае модели Халла-Уайта когда $a\to 0$ получаем модель Хо-Ли:

$d{r}_t=({\partial }_{t}f(0,t)+{\sigma }^{2}t)dt+\sigma d{W}_t$

Решение уравнения (интегральное представление модели) имеет вид:

$r_t=e^{-at}{r}_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{a(s-t)}{\theta }_{s}ds+\sigma e^{-at}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{au}d{W}_u,$

Таким образом, краткосрочная ставка в модели имеет следующее распределение:

$r_t\sim 𝒩(e^{-at}r(0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{a(s-t)}{\theta }_{s}ds,{\sigma }^2{B}_{2a}(0,t)).$

Модель Халла-Уайта для спот-ставки соответствует HJM-модели мгновенной форвардной ставки с функцией волатильности $\sigma (t,T)=\sigma e^{-a(T-t)}$.

Обобщённая модель Халла-Уайта

Обобщённая модель Халла-Уайта допускает изменение во времени параметров $a$ и $\sigma$ представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:

$d{r}_t=a_t({\theta }_t-r_t)dt+{\sigma }_{t}d{W}_t$

где ${\theta }_t=f(0,t)+\frac{{\partial }_{t}f(0,t)}{a_t}+\frac{1}{a_t}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\sigma }_u^2{e}^{-2\underset{0}{\overset{u}{\int }}{a}_{s}ds}du$

Эта модель спот-ставки соответствует HJM-модели мгновенной форвардной ставки с функцией волатильности $\sigma (t,T)={\sigma }_t{e}^{-a_t(T-t)}$

Специальное представление модели

В некоторых случаях удобно представить модель через искусственную переменную состояния $Z_t$, удовлетворяющую следующему стохастическому дифференциальному уравнению

$d{Z}_t=-a_t{Z}_{t}dt+{\sigma }_{t}d{W}_t$

а спот-ставка выражается через эту переменную следующим образом

$r_t=f(0,t)+Z_t+H(t,t)$, где функция $H(t,T)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sigma (u,T){\sigma }_P(u,T)du$, где ${\sigma }_P(u,T)=\underset{u}{\overset{T}{\int }}\sigma (u,s)du$

при таком определении форвардные ставки на любой срок выражаются следующим образом:

$f(t,T)=f(0,t)+H(t,T)+Z_t{e}^{-\underset{t}{\overset{T}{\int }}{a}_{s}ds}$

Дисконтные облигации и кривая доходности

Если в вышеприведённой форме модель задана в риск-нейтральной мере, то из соображений безарбитражности следует, что стоимость дисконтной облигации (соответственно дисконтная кривая) имеет вид:

$P(t,T)=e^{A(t,T)-B_a(t,T)r_t},$

где

$B_a(t,T)=\frac{1-e^{-a(T-t)}}{a}$

$A(t,T)=\ln \frac{P(0,T)}{P(0,t)}-B_a(t,T)\frac{\partial \ln P(0,t)}{\partial t}-0.5{\sigma }^2{B}_a^2(t,T)B_{2a}(0,t).$

где $P(0,t),P(0,T)$ - значение дисконтной кривой в начальный момент времени (модель калибруется с учётом фактической кривой в этот момент времени) для сроков $t,T$

Эти формулы можно записать и в терминах доходностей следующим образом:

$r(t,T)=f(0,t,T)+\frac{B_a(t,T)}{T-t}(r_t-f(0,t))+0.5{\sigma }^2\frac{B_a^2(t,T)B_{2a}(0,t)}{T-t}.$

Динамика стоимости дисконтной облигации в риск-нейтральной мере в рамках модели Халла-Уайта описывается следующим уравнением:

$dP(t,T)/P(t,T)=r_{t}dt+{\sigma }_p(t,T)d{W}_t^{\mathbb{Q}},{\sigma }_p(t,T)=-\underset{t}{\overset{T}{\int }}\sigma (t,s)ds=-\sigma B_a(t,T)$

Можно показать, что динамика цены форвардной облигации $P(t,T,S)=\frac{P(t,S)}{P(t,T)}$ в $T$-форвардной мере имеет вид:

$dP(t,T,S)/P(t,T,S)=({\sigma }_p(t,S)-{\sigma }_p(t,T))d{W}_t^{{\mathbb{Q}}^T}$

то есть это процесс без дрифта (как минимум локальный мартингал) с процессом волатильности, равным

${\sigma }_p(t,S)-{\sigma }_p(t,T)=-\sigma \frac{e^{-a(T-t)}-e^{-a(S-t)}}{a}=-\sigma \frac{e^{-aT}-e^{-aS}}{a}{e}^{at}$

Оценка процентных опционов

Опцион на бескупонную облигацию

Колл- (пут-) опцион на дисконтную облигацию с датой погашения $S$ дает право его покупки (продажи) в момент экспирации $T<S$ по зафиксированной в момент заключения договора цене ($K_p$- страйк опциона). Рыночная цена облигации в момент экспирации равна $P(T,S)$. Тогда стоимость такого опциона в момент $t<T$ будет равна

$V_t=P(t,T){𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^T}[(z[P(T,S)-K_p]{)}^{+}]$

Учитывая, что $P(T,S)=P(T,T,S)$, то из приведенного выше уравнения динамики цены форвардной облигации $P(t,T,S)$ в $T$ форвардной мере следует, что такой опцион можно оценить по логнормальной формуле оценки стоимости опционов (формула типа Блэка):

$V_t=zP(t,T)[P(t,T,S)N(zd)-K_{p}N(z(d-v))]=z[P(t,S)N(zd)-P(t,T)K_{p}N(z(d-v))]$

$d=\frac{1}{v}\ln \frac{P(t,T,S)}{K_p}+0.5v=\frac{1}{v}\ln \frac{P(t,S)}{K_{p}P(t,T)}+0.5v$

где $v^2=\underset{t}{\overset{T}{\int }}({\sigma }_p(u,T)-{\sigma }_p(u,S){)}^{2}du={\sigma }^2{B}_a^2(T,S)B_{2a}(t,T)$

Оценка классического (форвард-лукинг) кэплета/флорлета

Форвард-лукинг кэплет/флорлет (номер i в рамках кэпа/флора в целом) предполагает фиксацию ставки на период опциона $[T_{i-1},T_i]$ в начале этого периода, причём срочность ставки совпадает со срочностью ${\tau }_i=\tau (T_{i-1},T_i)$ кэплета/флорлета. Формула оценки стоимости является логнормальной (типа Блэка), но с заменой "страйка" и "форвардной ставки":

$\mathrm{\forall }t<T_{i-1}{V}_i(t)=P(t,T_i)z[(1+F_i(t){\tau }_i)N(z{d}_i)-(1+K{\tau }_i)N(z(d_i-v_i))],$

$d_i=\frac{\ln \frac{1+F_i(t){\tau }_i}{1+K{\tau }_i}+0.5v_i^2}{v_i},v_i=\sigma B_a({\tau }_i)\sqrt{B_{2a}(T_{i-1}-t)},B_a(x)=\frac{1-e^{-ax}}{a}$

Здесь и далее z равен 1 для кэплета и -1 для флорлета. При стремлении a к нулю (модель Хо-Ли) функция $B_a(x)$ стремится к $x$, поэтому а $v_i$ стремится к : $v_i=\sigma {\tau }_i\sqrt{T_{i-1}-t}$ как в классических формулах стоимости опционов (Блэка и Башелье).

Вышеуказанная формула для кэплета (флорлета) эквивалентна формуле для опциона-пут (соответственно - колл) на бескупонную облигацию с номиналом $1+K{\tau }_i$ и страйком $K_p=\frac{1}{1+K{\tau }_i}$. Можно показать исходя из того, что $1+F{\tau }_i=P(t,T_{i-1})/P(t,T_i)$ (в итоге получим формулу для опциона на дисконтную облигации с -z вместо z, что означает, что кэплету соответствует опцион-пут, а флорлету - опцион колл.

Это соответствие между кэплетами/флорлетами и опционами на дисконтные облигации выполняется независимо от модели динамики процентной ставки. А именно, путем несложных арифметических преобразований и применяя процедуру замены меры c $T_i$-форвардной на $T_{i-1}$-форвардную меру можно показать, что выполнено равенство:

$V_t=P(t,T){𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^{T_i}}[(z[L(T_{i-1}{T}_i){\tau }_i-K{\tau }_i]{)}^{+}]=(1+K{\tau }_i)P(t,T_{i-1}){𝔼}_t^{{\mathbb{Q}}^{T_{i-1}}}[(-z[P(T_{i-1},T_i)-K_p]{)}^{+}]$

Оценка бэкворд-лукинг кэплета/флорлета

Бэкворд-лукинг кэплет/флорлет предполагает фиксацию ставки на период опциона $[T_{i-1},T_i]$ в конце этого периода, путём начисления процентов по овернайт-ставке. Для упрощения обычно такое начисление заменяется непрерывным начислением. При этом теоретически возможны два случая - сложное начисление и арифметическое (азиатский опцион).

Бэкворд-лукинг опцион со сложным начислением овернайт-ставки

Формула оценки такого кэплета/флорлета аналогична форвард-лукинг случаю (типа Блэка, логнормальная формула), за исключением значения $v_i$, которое в данном случае определяется следующим образом:

$v_i=\frac{\sigma }{a}\sqrt{{\tau }_i-B_a({\tau }_i)-\frac{a}{2}{e}^{-2a(T_{i-1}-t)}{B}_a^2({\tau }_i)}$

Такая запись относительно простая, однако не совсем наглядна разница со случаем форвард-лукинг, поэтому эту формулу также можно записать в следующем виде, в котором видна прибавка к форвард-лукинг случаю:

$v_i=\sigma B_a({\tau }_i)\sqrt{B_{2a}(T_{i-1}-t)+\frac{{\tau }_i}{3}g(a{\tau }_i)},g(x)=\frac{3}{2x}[\frac{1-b(x)}{b(x)-b(2x)}-1],b(x)=\frac{1-e^{-x}}{x}$

В такой записи видно, что здесь "дисперсия" больше, чем в форвард-лукинг случае. Функция $g(x)$ стремится к 1 при стремлении $x$ к 0. Можно показать, что при $x<<1$ (на практике в основном $a{\tau }_i<0.5$ и часто $a{\tau }_i<0.25$) функция $g(x)\approx {(1+\frac{x}{8})}^2$ достаточно точно. При стремлении $a$ к нулю (модель Хо-Ли) $g(a{\tau }_i)$ стремится к 1, и получим следующую формулу

$v_i=\sigma {\tau }_i\sqrt{(T_{i-1}-t)+\frac{{\tau }_i}{3}}$

Арифметический (азиатский) опцион

В случае арифметического (азиатского) опциона (то есть бэкворд-лукинг опцион с арифметическим накоплением по овернайт ставке) используется та же величина $v_i$, что и в предыдущем случае, однако формула оценки опциона иная (типа Башелье, "нормальная" формула):

$\mathrm{\forall }t<T_{i-1}{V}_i(t)=P(t,T_i)[d_{i}N(d_i)+\varphi (d_i))]v_i$

$d_i=z\frac{[\ln (1+F_i(t){\tau }_i)-0.5v_i^2]-K{\tau }_i}{v_i},$

Здесь $\ln (1+F_i(t){\tau }_i)$ - это примерное значение арифметического накопления форвардных ставок (если овернайт ставки заменить непрерывными форвардными ставками, а суммирование - интегралом). А величина $-0.5v_i^2$ - это так называемая корректировка на выпуклость (convexity adjustment), связанная с тем, что математическое ожидание арифметического накопления в $T_i-$форвардной мере не в точности равно накопленным форвардным ставкам (разница в рамках модели Халла-Уайта определяется вышеуказанной величиной).

См.также

• Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки
• Модель Васичека
• Модель Кокса-Ингерсола-Росса
• Модель HJM