Геометрическое распределение

Шаблон:Вероятностное распределение Геометрическое распределение — распределение дискретной случайной величины $X$, принимающей целые неотрицательные значения с вероятностями $p_m=\mathbb{P}\{X=m\}=p(1-p{)}^m$, где параметр $p$ — число из интервала от 0 до 1. Таким образом распределена случайная величина, равная числу независимых испытаний в схеме Бернулли до первого появления события, если вероятность события равна $p$, а непоявления — $1-p$. Наименование связано с тем, что вероятности $p_m$ убывают в геометрической прогрессииШаблон:Sfn. В ряде западных источников называется распределением Фёрри (в честь исследовавшего его американского физика Уэнделла Фёрри). Обозначение — $X\sim \mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}(p)$.

Является частным случаем отрицательного биномиального распределения, то есть распределения случайной величины, равной $k$-му появлению события с заданной вероятностью в схеме Бернулли, при $k=1$.

Свойства

Математическое ожидание, дисперсия, производящая функция моментов и характеристическая функция соответственно:

$𝔼[X]=\frac{1-p}{p}$, $𝔻[X]=\frac{1-p}{p^2}$,

$P(t)=\frac{p}{1-(1-p)e^t}$,

${\varphi }_X(t)=\frac{p}{1-(1-p)e^{it}}$.

Одно из особенных свойств — Шаблон:Нп2: для любых целых неотрицательных $m$ и $n$ условная вероятность геометрически распределённой случайная величины $X$ показывает независимость от предыдущих значений:

$\mathbb{P}\{X⩾m+n\mid X⩾m\}=\mathbb{P}\{X⩾n\}$,

иными словами — вероятность появления события в очередном испытании в серии не зависит от количества непоявлений в предыдущих испытаниях. Является единственным дискретным распределением с таким свойством, а поскольку из непрерывных распределений этим свойством обладает лишь показательное распределение, то по этому признаку геометрическое распределение считается дискретным аналогом показательногоШаблон:Sfn.

Из всех дискретных распределений с носителем $\{1,2,3,\dots \}$ и фиксированным средним $\mu >1$ геометрическое распределение $\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}(1/\mu )$ является одним из распределений с максимальной информационной энтропией.

Геометрическое распределение бесконечно делимо.

Если геометрически распределённые случайные величины $X_1,\dots ,X_n$ независимы, то их минимальная случайная величина геометрически распределена следующим образом:

$\min {\mathrm{\backslash limits}}_i(X_i)\sim \mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}(1-\prod _{i=1}^n(1-p_i))$.

Примеры и приложения

В игральных костях случайная величина $X$, соответствующая числу попыток до первого выпадения «шестёрки» в последовательности бросков, распределена геометрически с параметром $p=1/6$, то есть её математическое ожидание — 5, дисперсия — 30, вероятности первой «шестёрки» на первом, втором, третьем броске — $1/6$, $1/6\cdot 5/6$, $1/6\cdot (5/6{)}^2$ соответственно. Другой встречающийся пример — количество выстрелов из орудия до первого попадания в цель — случайная величина с параметром $p$, равным вероятности попадания при единичном выстреле; например, при $p=0,6$ вероятность попадания при третьем выстреле равна $0,4^2\cdot 0,6=0,096$Шаблон:Sfn.

Геометрическое распределение характерно для многих наблюдаемых случайных процессов. Геометрическое распределение моделирует дискретные величины, возникающие в процессах, изучаемых в статистической физике (в частности, статистика Бозе — Эйнштейна для одного источника характеризуется геометрическим распределением), и, будучи дискретным вариантом показательного распределения, зачастую возникает для описания дискретного поведения соответствующей категории процессов. В классической системе массового обслуживания Шаблон:Iw количество заявок на обслуживание распределено геометрически, и в целом распределение часто встречается в задачах теории массового обслуживания. Другое типичное применение — интервальная характеристика выхода из строя оборудования.

Литература

• Шаблон:БРЭ
• Шаблон:МатЭнц
• Шаблон:Книга:ВМСЭ
• Шаблон:Книга