Сходимость в Lp

Шаблон:Значения Сходи́мость в $L^p$ в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин.

Определение

Пусть $(X,ℱ,\mu )$ — пространство с мерой. Тогда пространство $L^p\equiv L^p(X,ℱ,\mu )$ измеримых функций, таких что их $p$-я степень, где $p⩾1$, интегрируема по Лебегу, является метрическим. Метрика в этом пространстве имеет вид:

$d(f,g)=\Vert f-g{\Vert }_p\equiv {(\underset{X}{\int }|f(x)-g(x){|}^p\mu (dx))}^{1/p}$.

Пусть дана последовательность $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset L^p$. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в $L^p$ к функции $f\in L^p$, если она сходится в метрике, определённой выше, то есть

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\Vert f_n-f{\Vert }_p=0$.

Пишут: $f_n\stackrel{L^p}{⟶}f$. Иногда также используют обозначение $f(x)={\mathrm{l}\mathrm{.}\mathrm{i}\mathrm{.}\mathrm{m}\mathrm{.}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ — от Шаблон:Lang-en.

В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин $\{X_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset L^p(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ сходится к $X$ из того же пространства, если

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}𝔼|X_n-X{|}^p=0$.

Пишут: $X_n\stackrel{L^p}{⟶}X$.

Терминология

• Сходимость в пространстве $L^1$ называется сходимостью в среднем.
• Сходимость в пространстве $L^2$ называется сходимость в среднеквадратичном.

Свойства сходимости в $L^p$

• Единственность предела. Если $f_n\stackrel{L^p}{⟶}f$ и $f_n\stackrel{L^p}{⟶}g$, то $f=g$ $\mu$-почти всюду ($\mathbb{P}$-почти наверное).

• Пространство $L^p$ полно. Если $\Vert f_n-f_m{\Vert }_p\to 0$ при $\min (n,m)\to \mathrm{\infty }$, то существует $f\in L^p$, такой что $f_n\stackrel{L^p}{⟶}f$.

• Сходимость в $L^p$ влечёт сходимость по мере (по вероятности). Если $f_n\stackrel{L^p}{⟶}f$, то $f_n\stackrel{\mu }{⟶}f$.