Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения, рассчитанная на основе данных выборки. Виды выборочных дисперсий:

• смещённая;
• несмещённая, или исправленная

Определения

Пусть $X_1,\dots ,X_n,\dots$ — выборка из распределения вероятности. Тогда

• выборочная дисперсия — это случайная величина

$S_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)}^2$,

где символ $\overline{X}$ обозначает выборочное среднее;

• несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2$.

Замечание

Очевидно,

$S^2=\frac{n}{n-1}{S}_n^2$.

Свойства выборочных дисперсий

• Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть $\hat{F}(x)$ — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного $\omega \in \mathrm{\Omega }$ функция $\hat{F}(\omega ,x)$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна $S_n^2(\omega )$.

• Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если $\mathrm{D}[X_i]={\sigma }^2<\mathrm{\infty }$, то

$S_n^2{\to }^{\mathbb{P}}{\sigma }^2$

и

$S^2{\to }^{\mathbb{P}}{\sigma }^2$,

где символ Шаблон:Nobr обозначает сходимость по вероятности.

• Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия — несмещённой:

$𝔼\left[S_n^2\right]=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2$,

и

$𝔼\left[S^2\right]={\sigma }^2$.

См. также

• Дисперсия случайной величины
• Выборочное среднее
• Несмещённая оценка
• Дисперсия Аллана
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки