Антиподера

Парабола — антиподера прямой

Антиподе́ра (Шаблон:Lang-fr, от др.-греч. άντί- — против и подераШаблон:SfnШаблон:Sfn; Шаблон:Lang-enШаблон:Sfn) кривой относительно точки — кривая, для которой данная кривая есть подера относительно той же точкиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Например, парабола есть антиподера прямой, если полюс антиподеры совпадает с фокусом параболыШаблон:SfnШаблон:Sfn, как показано на рисунке справа.

Антиподера кривой есть инверсия этой кривой с последующим полярным преобразование кривой, полюсы которых совпадают с полюсом антиподеры. Также антиподера кривой есть инверсия подеры инверсии этой кривой, полюсы которых совпадают с полюсом антиподерыШаблон:Sfn.

Полное определение антиподеры

Окружность — антиподера улитки Паскаля

Антиподе́ра, или отрицательная подера, или первая отрицательная подераШаблон:SfnШаблон:Sfn ( Шаблон:Lang-en), кривой относительно точки — кривая, подера которой относительно той же точки есть исходная криваяШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Другими словами, антиподера — огибающая кривая перпендикуляров, проведённых через точки исходной кривой к прямым, соединяющим точки исходной кривой с фиксированной точкой, которая называется полюсомШаблон:SfnШаблон:Sfn, или центромШаблон:Sfn, или точкой подерыШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Построение антиподеры исходя из уже построенной её подеры называется построением с помощью подерыШаблон:Sfn.

Например, всегда получится коническое сечение, если осуществить построение с помощью подеры из окружности или прямойШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Антриподе́ры степене́й вы́ше пе́рвой определяются как антиподеры антиподер предыдущей степени с одним и тем же полюсомШаблон:Sfn.

• Антиподеры секстики Кэли и подеры кубики Чирнгауза шести степеней
• 
  Кардиоида — 1-я антиподера Шаблон:Iw — 6-я подера кубики Чирнгауза
• 
  Окружность — 2-я антиподера секстики Кэли, кардиоида — 5-я подера кубики Чирнгауза
• 
  Точка — 3-я антиподера секстики Кэли, окружность — 4-я подера кубики Чирнгауза
• 
  Прямая — 4-я антиподера секстики Кэли, точка — 3-я подера кубики Чирнгауза
• 
  Парабола — 5-я антиподера секстики Кэли, прямая — 2-я подера кубики Чирнгауза
• 
  Кубика Чирнгауза — 6-я антиподера секстики Кэли, парабола — 1-я подера кубики Чирнгауза

Определение антиподеры через инверсию

Имеет место схема преобразований кривых для подеры, инверсии и полярного преобразования кривой, показанная на рисунке справа, из которой вытекает следующее два утвержденияШаблон:Sfn:

• антиподера кривой есть инверсия с последующим полярным преобразованием кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом подеры;
• антиподера кривой есть инверсия подеры инверсии кривой, окружности преобразования которых совпадают, а полюсы совпадают с полюсом антиподеры.

Уравнения антиподеры

Параметрические уравнения антиподеры

Параметрические уравнения антиподеры на вещественной плоскости

В общем случае, для параметрически заданной кривой $𝐳(t)=(x(t),y(t))$, имеющей производную ${𝐳}^{\prime }(t)=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t))$, антиподера

$\mathrm{antipedal}[𝐳,{𝐳}_0](t)=𝐙(t)=(X(t),Y(t))$

относительно точки ${𝐳}_0=(x_0,y_0)$ задаётся следующими уравнениямиШаблон:Sfn:

$X=\frac{((x-x_0)x-(y-y_0{)}^2)y^{\prime }-(2x-x_0)(y-y_0)x^{\prime }}{(x-x_0)y^{\prime }-(y-y_0)x^{\prime }}=$

$=2x-x_0-y^{\prime }\frac{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}{(x-x_0)y^{\prime }-(y-y_0)x^{\prime }}=$

$=x-(y-y_0)\frac{(x-x_0)x^{\prime }+(y-y_0)y^{\prime }}{(x-x_0)y^{\prime }-(y-y_0)x^{\prime }},$

$Y=\frac{-((y-y_0)y-(x-x_0{)}^2)x^{\prime }+(2y-y_0)(x-x_0)y^{\prime }}{(x-x_0)y^{\prime }-(y-y_0)x^{\prime }}=$

$=2y-y_0+x^{\prime }\frac{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}{(x-x_0)y^{\prime }-(y-y_0)x^{\prime }}=$

$=y+(x-x_0)\frac{(x-x_0)x^{\prime }+(y-y_0)y^{\prime }}{(x-x_0)y^{\prime }-(y-y_0)x^{\prime }}.$

Эти основные уравненияШаблон:Sfn можно принять за определение антиподерыШаблон:Sfn.

В частном случае, относительно полюса ${𝐳}_0=(0,0)$ в начале координат, основные уравнения будут такимиШаблон:Sfn:

$X=\frac{(x^2-y^2)y^{\prime }-2xy{x}^{\prime }}{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}=$

$=2x-y^{\prime }\frac{x^2+y^2}{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}=$

$=x-y\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }}{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }},$

$Y=\frac{-(y^2-x^2)x^{\prime }+2xy{y}^{\prime }}{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}=$

$=2y+x^{\prime }\frac{x^2+y^2}{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}=$

$=y+x\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }}{x{y}^{\prime }-y{x}^{\prime }}.$

Примеры антиподеры

• Парабола — антиподера прямой.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H