Экстраполятор первого порядка

Экстраполятор первого порядка — математическая модель для восстановления дискретизованного сигнала, которое может производиться обычным цифро-аналоговым преобразователем (который в данном случае выступает в качестве экстраполятора нулевого порядка) и аналоговой схемой (интегратором). В этом случае сигнал восстанавливается в виде кусочно-линейной аппроксимации изначально оцифрованного сигнала. По сравнению с экстраполятором нулевого порядка экстраполятор первого порядка в общем случае имеет меньший шум квантования и, следовательно, более точно восстанавливает сигнал.

Математическая модель

Идеально оцифрованный сигнал x_s(t).

Пусть x_s(t) — сигнал до оцифровки, и x(nT) — сигнал после оцифровки. Тогда экстраполятор нулевого порядка есть фильтр преобразующий идеально оцифрованный сигнал $x_s(t)$ $=x(t)T\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (t-nT)$ |$=T\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)$

Кусочно-линейный сигнал x_FOH(t).

в кусочно-линейный сигнал

$x_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(nT)\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\left(\frac{t-nT}{T}\right)$

Импульсная передаточная функция экстраполятора первого порядка h_FOH(t).

и имеющий импульсную передаточную функцию

$h_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)=\frac{1}{T}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\left(\frac{t}{T}\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{T}(1-\frac{|t|}{T})& \text{if }|t|<T\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$

где $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(x)$ — треугольная функция.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика экстраполятора первого порядка есть преобразование Фурье его импульсной передаточной функции:

$H_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{H}}(f)$ $=ℱ\{h_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)\}$ $={\left(\frac{e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}\right)}^2$ $={\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}^2(fT)$

где $\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)$ — sinc-функция.

Передаточная функция экстраполятора первого порядка получается формальной заменой s = i 2 π f:

$H_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{H}}(s)$ $=ℒ\{h_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{H}}(t)\}$ $={\left(\frac{e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}\right)}^2$

См. также

• Теорема Котельникова
• Экстраполятор нулевого порядка