Правило произведения

Геометрическая иллюстрация доказательства правила произведения

Правило произведения, или тождество Лейбница, — характерное свойство дифференциальных операторов.

Запись этого правила для дифференциала выглядит следующим образом: $d(u\cdot v)=vdu+udv$, а для производной следующим: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

Открытие

Открытие этого правила приписывается Готфриду Лейбницу, который продемонстрировал его с помощью дифференциалов.

Вот аргумент Лейбница: пусть $u(x)$ и $v(x)$ - две дифференцируемые функции от $x$. Тогда дифференциал от $uv$ равен:

$d(u\cdot v)=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v$ $=udv+vdu+dudv$

Поскольку произведение $dudv$ несоизмеримо меньше чем $du$ или $dv$, Лейбниц пришел к выводу, что:

$d(u\cdot v)=vdu+udv$

и это - дифференциальная форма правила произведения. Если мы разделим обе части на дифференциал $dx$, то получим:

$\frac{d}{dx}(u\cdot v)=v\cdot \frac{du}{dx}+u\cdot \frac{dv}{dx}$

Формула также может быть записана в нотации Лагранжа:

$(u\cdot v{)}^{\prime }=v\cdot u^{\prime }+u\cdot v^{\prime }.$

Вариации и обобщения

Многократная производная

Для $n$-ой производной существует обобщённая формула Лейбница:

${(f\cdot g)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{f}^{(n-k)}{g}^{(k)},$ где $C_n^k$ — биномиальные коэффициенты.

Градуированная алгебра

Операция ${\delta }_l:{\oplus }_k{\mathrm{\Omega }}^k\to {\oplus }_k{\mathrm{\Omega }}^{k+l}$ на градуированной алгебре $\mathrm{\Omega }={\oplus }_k{\mathrm{\Omega }}^k$ удовлетворяет градуированному тождеству Лейбница, если для любых $K\in {\mathrm{\Omega }}^k$, $F\in \mathrm{\Omega }$

${\delta }_l(K\wedge F)={\delta }_l(K)\wedge F+(-1{)}^{kl}K\wedge {\delta }_l(F)$

где $\wedge$ — умножение в $\mathrm{\Omega }$. Большинство дифференцирований на алгебре дифференциальных форм удовлетворяют этому тождеству.

Ассоциативная алгебра

В ассоциативной алгебре верно следующее тождество: $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C].$ Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора $D_A=[A,\cdot ].$ По этой причине оператор $D_A$ называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор ${\tilde{D}}_A=[\cdot ,A].$

Как следствие, $[A,B_1{B}_2\dots B_n]=[A,B_1]B_2\dots B_n+$ $B_1[A,B_2]\dots B_n+\dots +B_1{B}_2\dots [A,B_n]$

См также

• Правило умножения (комбинаторика)